Задача #1079 ← →

Олим­пи­а­да «Шаг в бу­ду­щее», за­клю­чи­тель­ный этап, 10 класс, 2024 год. В ори­ги­наль­ной за­да­че вме­сто ис­поль­зу­ет­ся обо­зна­че­ние а вме­сто ис­поль­зу­ет­ся обо­зна­че­ние Ре­ше­ния по­лу­чи­лись до­воль­но объ­ем­ны­ми, так что не лиш­ним бу­дет сде­лать не­боль­шое

Пер­вое ре­ше­ние

Вто­рой спо­соб для ско­ро­стей

Тре­тий спо­соб для ско­ро­стей

Вто­рой спо­соб для уско­ре­ний

Ошиб­ка в ав­тор­ском ре­ше­нии

В авторском решении (но­мер 6) по­лу­ча­ет­ся дру­гая сила на­тя­же­ния. По­ла­гаю, что ав­тор­ское ре­ше­ние име­ет изъ­ян: уско­ре­ния бу­си­нок не мо­гут от­но­сить­ся так же, как и ско­ро­сти. Про­диф­фе­рен­ци­ро­вав по вре­ме­ни, мы не по­лу­чим по­сколь­ку тоже за­ви­сит от вре­ме­ни.

Вы­чис­лим на­сто­я­щее от­но­ше­ние уско­ре­ний.

Гра­фи­ки v(x), a(x), T(x)

По­смот­рим, как вы­гля­дит за­ви­си­мость уско­ре­ния бу­си­нок от ве­ли­чи­ны сме­ще­ния край­них бу­си­нок (см. код гра­фи­ков). Ко­нец гра­фи­ка, т.е. со­от­вет­ству­ет «встре­че» верх­них бу­си­нок, ко­гда нить вер­ти­каль­на.

Си­няя и крас­ная ли­нии на гра­фи­ке со­от­вет­ству­ют вы­ра­же­ни­ям для и по­лу­чен­ным в пре­ды­ду­щем пунк­те. Пунк­тир­ная (ав­тор­ская) кри­вая по­лу­че­на до­мно­же­ни­ем на ¹ Вид­но, что у ав­тор­ской кри­вой есть про­бле­мы. Во-пер­вых, бу­син­ка в на­ча­ле име­ет уско­ре­ние хотя, оче­вид­но, долж­но быть уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния, так как в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни на сред­нюю бу­син­ку дей­ству­ет толь­ко сила тя­же­сти. Обра­ти­те вни­ма­ние, крас­ная кри­вая эту про­вер­ку про­хо­дит. Так­же зе­ле­ная пунк­тир­ная кри­вая стре­мит­ся к нулю (вме­сте со ско­ро­стью) при до­сти­же­нии ниж­ней бу­син­кой ниж­не­го по­ло­же­ния, как буд­то ниж­няя бу­син­ка ока­зы­ва­ет­ся в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия. Это ка­жет­ся очень стран­ным.

В ка­че­стве про­вер­ки по­лу­чен­ной за­ви­си­мо­сти я срав­нил это уско­ре­ние с уско­ре­ни­ем, по­лу­чен­ным из ди­на­ми­че­ских со­об­ра­же­ний:

Вы­ра­жая из этой си­сте­мы по­лу­ча­ем пол­ное сов­па­де­ние с за­ви­си­мо­стью по­лу­чен­ной при диф­фе­рен­ци­ро­ва­нии по вре­ме­ни ско­ро­сти ниж­ней бу­син­ки.

Мож­но по­смот­реть на за­ви­си­мо­сти и Оба гра­фи­ка хо­ро­шо со­гла­су­ют­ся с гра­фи­ком уско­ре­ний. В этих гра­фи­ках за­шиф­ро­ва­но очень мно­го ин­фор­ма­ции о ха­рак­те­ре дви­же­ния тел, ре­ко­мен­дую как сле­ду­ет по­раз­мыс­лить над каж­дым.

Ра­ду­ет, что дей­стви­тель­но ока­зы­ва­ет­ся рав­но око­ло как по­лу­че­но в пунк­тах 1 и 4.

И по­след­нее

Есть за­да­чи (на­при­мер, #961), где и ско­ро­сти тел от­но­сят­ся друг к дру­гу как тан­генс угла, и уско­ре­ния от­но­сят­ся друг к дру­гу как тан­генс угла. Дело в том, что в за­да­че #961 угол не ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем, по­это­му, диф­фе­рен­ци­руя по вре­ме­ни, по­лу­ча­ем

А в на­шей за­да­че угол, как и ско­рость, есть функ­ция от вре­ме­ни. По­это­му уско­ре­ния от­но­сят­ся друг к дру­гу не так же, как ско­ро­сти.