Задача #1079 ← →

Олимпиада «Шаг в будущее», заключительный этап, 10 класс, 2024 год. В оригинальной задаче вместо используется обозначение а вместо используется обозначение Решения получились довольно объемными, так что не лишним будет сделать не­боль­шое

Оглавление

Первое решение

Второй способ для скоростей

Третий способ для скоростей

Второй способ для ускорений

Ошибка в авторском решении

В авторском решении (номер 6) получается другая сила натяжения.

Полагаю, что авторское решение имеет изъян: ускорения бусинок не могут относиться так же, как и скорости. Продифференцировав по времени, мы не получим поскольку тоже зависит от времени.

Вычислим настоящее отношение ускорений.

Графики v(x), a(x), T(x)

Посмотрим, как выглядит зависимость ускорения бусинок от величины смещения крайних бусинок Конец графика, т.е. м, соответствует «встрече» верхних бусинок, когда нить вертикальна.

Синяя и красная линии на графике соответствуют выражениям для и полученным в предыдущем пункте. Пунктирная (авторская) кривая получена домножением на ¹ Видно, что у авторской кривой есть проблемы. Во-первых, бусинка в начале имеет ускорение хотя, очевидно, должно быть ускорение свободного падения, так как в начальный момент времени на среднюю бусинку действует только сила тяжести. Обратите внимание, красная кривая эту проверку проходит. Также зеленая пунктирная кривая стремится к нулю (вместе со скоростью) при достижении нижней бусинкой нижнего положения, как будто нижняя бусинка оказывается в положении равновесия. Это кажется очень странным.

В качестве проверки полученной зависимости я сравнил это ускорение с ускорением, полученным из динамических соображений:

Выражая из этой системы получаем полное совпадение с зависимостью полученной при дифференцировании по времени скорости нижней бусинки.

Можно посмотреть на зависимости и Оба графика хорошо согласуются с графиком ускорений. В этих графиках зашифровано очень много информации о характере движения тел, рекомендую как следует поразмыслить над каждым.

Радует, что действительно оказывается равно около 1,09 Н, как получено в пунктах 1 и 4.

И последнее

Есть задачи (например, #961), где и скорости тел относятся друг к другу как тангенс угла, и ускорения относятся друг к другу как тангенс угла. Дело в том, что в задаче #961 угол не меняется со временем, поэтому, дифференцируя по времени, получаем .

А в нашей задаче угол, как и скорость, есть функция от времени. Поэтому ускорения относятся друг к другу не так же, как скорости.