Задача #296 ← →

Уче­ник Федя на са­мо­сто­я­тель­ной ра­бо­те ре­шал за­да­чу со сле­ду­ю­щим усло­ви­ем:

«Ша­ри­ку, под­ве­шен­но­му на нити, при­да­ли го­ри­зон­таль­ную ско­рость Счи­тая ша­рик ма­те­ри­аль­ной точ­кой, най­ди­те мак­си­маль­ную вы­со­ту подъ­ема ша­ри­ка».

Федя за­пи­сал за­кон со­хра­не­ния энер­гии в виде от­ку­да по­лу­чил За ра­бо­ту была вы­став­ле­на от­лич­ная от­мет­ка. Од­на­ко Федя за­ду­мал­ся, за­чем в за­да­че ска­за­но счи­тать ша­рик ма­те­ри­аль­ной точ­кой. «Что из­ме­ни­лось бы, если бы ша­рик имел ра­ди­ус ко­то­рым пре­не­бречь не­льзя?», — за­дал он во­прос учи­те­лю. Учи­тель не знал ни­че­го кро­ме школь­ной про­грам­мы, по­это­му от­ве­тил: «а ты сам по­ду­май, Федя!».

И Федя за­ду­мал­ся: как из­ме­нит­ся мак­си­маль­ная вы­со­та подъ­ема ша­ри­ка, если его ра­ди­у­сом пре­не­бречь не­льзя? От­веть­те на во­прос Фе­до­ра, опи­ра­ясь на фи­зи­че­ские за­ко­ны.

Решение

Ша­рик ра­зум­но счи­тать ма­те­ри­аль­ной точ­кой, если энер­гия, за­па­сен­ная в его вра­ща­тель­ном дви­же­нии, пре­не­бре­жи­мо мала. Если же вра­ща­тель­ную энер­гию учи­ты­вать, то за­кон со­хра­не­ния энер­гии за­пи­шет­ся в сле­ду­ю­щем виде:

То­гда

что, оче­вид­но, мень­ше Но толь­ко в те мо­мен­ты, ко­гда ша­рик еще дви­жет­ся. В мо­мент об­ра­ще­ния мгно­вен­ной ско­ро­сти цен­тра масс в нуль так­же от­сут­ству­ет и вра­ще­ние. По­это­му урав­не­ние по-преж­не­му оста­ет­ся вер­ным для по­ис­ка мак­си­маль­ной вы­со­ты! Для ма­те­ри­аль­ной точ­ки и для шара ко­неч­но­го раз­ме­ра раз­ным бу­дет пе­ри­од ко­ле­ба­ний.

При­ме­ча­ние

На пер­вом кур­се Федя узна­ет, что где мо­мент инер­ции для од­но­род­но­го шара от­но­си­тель­но оси, про­хо­дя­щей че­рез точ­ку под­ве­са, ра­вен За обо­зна­че­но рас­сто­я­ние от точ­ки под­ве­са до цен­тра шара.