Задача #317 ← →
Сосуд с газом, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с длиной двигают горизонтально с ускорением направленным вдоль длинной стороны. Найдите разность плотностей газа вблизи задней и передней стенок сосуда. Плотность газа в неподвижном сосуде его молярная масса температура Силой тяжести, действующей на молекулы газа, можно пренебречь.
Решение
II закон Ньютона для центра масс
Силы, изображенные на рисунке, приложены к газу. Газ, разумеется, тоже оказывает давление на сосуд, но приложенные к сосуду силы нас не интересуют. Очевидно, какие-то еще силы ускоряют сосуд. Поэтому второй закон Ньютона записан для газа. Вернее, для его центра масс. Немного подробнее в моем видео-разборе.
Лирическое отступление
Если соединить шлангом два сосуда, в одном из которых давление а в другом вакуум — газ начнет перетекать в сторону меньшего давления. Проведем следующий мысленный эксперимент: один конец очень длинной трубы помещаем около поверхности планеты, а второй конец вытягиваем в космос, где давление почти нулевое. Вся атмосфера должна улететь в космос! Где здесь логическая ошибка? Ответ ниже.
Барометрическая формула
Злую шутку может сыграть с учеником, решающим эту задачу, шапочное знакомство с барометрической формулой. Эта формула позволяет рассчитать зависимость давления от высоты для идеального газа в поле силы тяжести. Приведем ее вывод.
Присмотримся к нашей задаче про ускоряющийся цилиндр. Уж не то ли это самое, что вертикальный цилиндр, стоящий в поле тяжести? Оказывается, то же самое: теория относительности утверждает, что невозможно отличить движение с ускорением от пребывания в поле тяготения с таким же ускорением свободного падения. И неспроста, видимо, авторы задачи дали нам значение
Но где же тогда экспонента в нашем решении? Если повторить вывод барометрической формулы, обозначив за плотность у задней стенки, получится
Это верный результат. Но и в нашем решении нет ошибки: дело в том, что нам дали очень удобную величину — плотность газа в покоящемся сосуде. Через нее выражается без экспоненты.
Ответ на лирическое отступление
Если барометрическая формула не стала для вас ответом, вот ответ более явно: атмосфера и так соединена с космосом, труба ничего не изменит. Атмосфера не улетает из-за притяжения Земли, причем давление (в упрощенной модели) распределено так, как показывает барометрическая формула.