Задача #704 ← →

Ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник с ча­сто­той сво­бод­ных ко­ле­ба­ний от­кло­ни­ли на не­боль­шой угол от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия в по­ло­же­ние 1 и от­пу­сти­ли из со­сто­я­ния по­коя (см. ри­су­нок). Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь. По­тен­ци­аль­ная энер­гия ма­ят­ни­ка от­счи­ты­ва­ет­ся от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия. Из при­ве­дён­но­го ниже спис­ка вы­бе­ри­те все вер­ные утвер­жде­ния, опи­сы­ва­ю­щие про­цесс ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка.

  1. По­тен­ци­аль­ная энер­гия ма­ят­ни­ка в пер­вый раз до­стиг­нет сво­е­го мак­си­му­ма че­рез по­сле на­ча­ла дви­же­ния.

  2. Че­рез ма­ят­ник пер­вый раз вер­нёт­ся в по­ло­же­ние 1.

  3. При дви­же­нии из по­ло­же­ния 2 в по­ло­же­ние 3 пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка оста­ёт­ся не­из­мен­ной.

  4. Ки­не­ти­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка в пер­вый раз до­стиг­нет сво­е­го мак­си­му­ма че­рез по­сле на­ча­ла дви­же­ния.

  5. При дви­же­нии из по­ло­же­ния 3 в по­ло­же­ние 2 мо­дуль силы на­тя­же­ния нити умень­ша­ет­ся.

От­вет:

Решение

Пе­ри­од ко­ле­ба­ний со­став­ля­ет

  1. Не­вер­но. Пер­вый раз по­тен­ци­аль­ная энер­гия до­сти­га­ет мак­си­му­ма в по­ло­же­нии 3 че­рез по­сле на­ча­ла дви­же­ния.

  2. Не­вер­но. Ма­ят­ник вер­нет­ся в по­ло­же­ние 1 че­рез пе­ри­од, рав­ный

  3. Вер­но. По­сколь­ку со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха мож­но пре­не­бречь, пол­ная ме­ха­ни­че­ская энер­гия ма­ят­ни­ка не из­ме­ня­ет­ся.

  4. Вер­но. Че­рез чет­верть пе­ри­о­да () ма­ят­ник ока­жет­ся в по­ло­же­нии 2, где его ско­рость бу­дет мак­си­маль­на.

  5. Не­вер­но. Пусть — угол от­кло­не­ния нити от вер­ти­ка­ли. То­гда 2 за­кон Нью­то­на в про­ек­ции на нить за­пи­шет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом (сра­зу под­ста­вим для цен­тро­стре­ми­тель­ной ком­по­нен­ты уско­ре­ния):

    То есть

    По­сколь­ку при дви­же­нии к по­ло­же­нию 2 рас­тет ско­рость и умень­ша­ет­ся угол, сила на­тя­же­ния нити уве­ли­чи­ва­ет­ся (оба сла­га­е­мых рас­тут).

Ответ

34