Задачи

Стер­жень дли­ной дви­жет­ся в го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти. В не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни ско­ро­сти кон­цов стерж­ня рав­ны и при­чем ско­рость пер­во­го из них на­прав­ле­на под уг­лом к стерж­ню (см. ри­су­нок). Ка­ко­ва уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния стерж­ня в этот мо­мент вре­ме­ни?

Тело мас­сы ле­жит на дос­ке мас­сы , на­хо­дя­щей­ся на глад­кой го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду те­лом и дос­кой .

• а. Ка­кую силу надо при­ло­жить к дос­ке, что­бы тело со­скольз­ну­ло с нее? За ка­кое вре­мя тело со­скольз­нет, если к дос­ке при­ло­же­на сила , а дли­на дос­ки рав­на ?
• б. С ка­ким уско­ре­ни­ем дви­жут­ся тело и дос­ка, если сила дей­ству­ет на тело мас­сы ?

Шай­бу по­ло­жи­ли на на­клон­ную плос­кость, об­ра­зу­ю­щую угол с го­ри­зон­том, и со­об­щи­ли ей вверх вдоль плос­ко­сти на­чаль­ную ско­рость Ко­эф­фи­ци­ент силы тре­ния сколь­же­ния меж­ду шай­бой и плос­ко­стью При ка­ком зна­че­нии угла рас­сто­я­ние, на ко­то­рое шай­ба под­ни­мет­ся вверх по плос­ко­сти, бу­дет наи­мень­шим?

Дос­ка мас­сы ле­жит на глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти, по ко­то­рой мо­жет сколь­зить без тре­ния. На дос­ке на­хо­дит­ся бру­сок мас­сы Ко­эф­фи­ци­ент силы тре­ния сколь­же­ния меж­ду брус­ком и дос­кой В мо­мент вре­ме­ни к брус­ку при­ло­жи­ли го­ри­зон­таль­ную силу, мо­дуль ко­то­рой из­ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где — по­сто­ян­ная. Най­ти за­ви­си­мость уско­ре­ния дос­ки от вре­ме­ни и опре­де­лить мо­мент вре­ме­ни ко­гда бру­сок на­чнет сколь­зить по дос­ке.

Груз под­ве­шен на ни­тях, пе­ре­ки­ну­тых че­рез бло­ки и ма­ло­го диа­мет­ра Бло­ки рас­по­ло­же­ны на од­ном уров­не, рас­сто­я­ние меж­ду ними рав­но Кон­цы ни­тей тя­нут вниз с оди­на­ко­вы­ми ско­ро­стя­ми так, что груз оста­ет­ся по­се­ре­ди­не меж­ду ними. Чему рав­на ско­рость гру­за, ко­гда он на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии по вер­ти­ка­ли от го­ри­зон­таль­ной пря­мой

Лест­ни­ца сто­ит на ше­ро­хо­ва­том полу и опи­ра­ет­ся о вы­ступ, снаб­жен­ный ро­ли­ком. Рас­сто­я­ние от ниж­не­го кон­ца лест­ни­цы до вы­сту­па со­став­ля­ет ее пол­ной дли­ны, угол на­кло­на лест­ни­цы Ка­ков дол­жен быть ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду лест­ни­цей и по­лом, что­бы она на­хо­ди­лась в рав­но­ве­сии? Тре­ни­ем в ро­ли­ке пре­не­бречь.

Ав­то­мо­биль мас­сой кг рав­но­мер­но дви­жет­ся вверх по на­клон­но­му участ­ку до­ро­ги, со­став­ля­ю­ще­му с го­ри­зон­том угол Най­ти силу с ко­то­рой да­вят на до­ро­гу пе­ред­ние ко­ле­са ав­то­мо­би­ля, если рас­сто­я­ние меж­ду его ося­ми м, центр тя­же­сти рас­по­ло­жен по­се­ре­ди­не меж­ду ося­ми на рас­сто­я­нии м от по­верх­но­сти до­ро­ги, ве­ду­щие ко­ле­са — зад­ние. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять м/с².

Две лод­ки вме­сте с гру­зом име­ют мас­су и Лод­ки идут на­встре­чу па­рал­лель­ны­ми кур­са­ми. Ко­гда лод­ки на­хо­дят­ся друг про­тив дру­га, с каж­дой лод­ки во встреч­ную од­но­вре­мен­но пе­ре­бра­сы­ва­ют по од­но­му меш­ку гру­за мас­сы каж­дый. В ре­зуль­та­те пер­вая лод­ка оста­нав­ли­ва­ет­ся, а вто­рая дви­жет­ся в преж­нем на­прав­ле­нии со ско­ро­стью Ка­ко­ва ско­рость пер­вой лод­ки до об­ме­на меш­ка­ми?

Две лод­ки вме­сте с гру­зом име­ют мас­су и Лод­ки идут на­встре­чу па­рал­лель­ны­ми кур­са­ми со ско­ро­стя­ми и со­от­вет­ствен­но. Ко­гда лод­ки на­хо­дят­ся друг про­тив дру­га, с каж­дой лод­ки во встреч­ную од­но­вре­мен­но пе­ре­бра­сы­ва­ют по од­но­му меш­ку гру­за мас­сы каж­дый. Най­ди­те ско­ро­сти ло­док и по­сле об­ме­на меш­ка­ми.

На глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти по­ко­ит­ся те­леж­ка мас­сы На краю те­леж­ки сто­ят два че­ло­ве­ка мас­сы каж­дый. Они по оче­ре­ди спры­ги­ва­ют с те­леж­ки в од­ном на­прав­ле­нии. Ско­рость каж­до­го че­ло­ве­ка от­но­си­тель­но те­леж­ки сра­зу по­сле от­тал­ки­ва­ния от нее на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но и рав­на Ка­кую ско­рость при­об­ре­ла те­леж­ка по­сле вто­ро­го прыж­ка?

Глад­кая на­клон­ная плос­кость об­ра­зу­ет угол с го­ри­зон­том. На плос­ко­сти ле­жит дос­ка мас­сой г, ниж­ний ко­нец ко­то­рой упи­ра­ет­ся тор­цом в лёг­кую пру­жи­ну, за­креп­лён­ную у осно­ва­ния на­клон­ной плос­ко­сти (см. ри­су­нок). Жёст­кость пру­жи­ны Н/м. На дос­ке на­хо­дит­ся ку­бик мас­сой г. Дос­ку плав­но сме­ща­ют вниз вдоль на­клон­ной плос­ко­сти, сжи­мая пру­жи­ну, и от­пус­ка­ют без на­чаль­ной ско­ро­сти. Най­ти наи­боль­шее сме­ще­ние дос­ки, при ко­то­ром ку­бик не бу­дет сколь­зить по дос­ке во вре­мя воз­ник­ших в си­сте­ме ко­ле­ба­ний. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять рав­ным м/с². Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду дос­кой и ку­би­ком

Шай­ба, сколь­зив­шая по глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти, по­па­да­ет на ше­ро­хо­ва­тую на­клон­ную плос­кость, ко­то­рая со­став­ля­ет угол с го­ри­зон­том. Шай­ба про­хо­дит вверх по на­клон­ной плос­ко­сти рас­сто­я­ние м за вре­мя с, по­сле чего оста­нав­ли­ва­ет­ся и со­скаль­зы­ва­ет вниз. Опре­де­ли­те ско­рость шай­бы по­сле того, как она сно­ва ока­жет­ся на го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять рав­ным м/с². От­вет вы­ра­зи­те в м/с и округ­ли­те до це­лых.

В трех оди­на­ко­вых со­об­ща­ю­щих­ся со­су­дах на­хо­дит­ся ртуть. В ле­вый со­суд на­ли­ли слой воды вы­со­той мм, а в пра­вый — вы­со­той мм. На ка­кую ве­ли­чи­ну сме­стит­ся уро­вень рту­ти в сред­нем со­су­де, если из­вест­но, что ртуть из ле­во­го и пра­во­го со­су­дов не вы­тес­ня­ет­ся во­дой пол­но­стью? Плот­ность рту­ти кг/м³, плот­ность воды г/см³.

В со­су­де с жид­ко­стью плот­но­сти кг/м³ пла­ва­ет од­но­род­ный ку­бик. Верх­няя грань ку­би­ка па­рал­лель­на по­верх­но­сти жид­ко­сти, а вы­со­та вы­сту­па­ю­щей над жид­ко­стью ча­сти см. Ко­гда ку­бик по­ме­сти­ли в со­суд с жид­ко­стью плот­но­сти кг/м³, вы­со­та вы­сту­па­ю­щей ча­сти ста­ла см. Най­ти плот­ность ма­те­ри­а­ла ку­би­ка .

В двух со­су­дах на­ли­ты оди­на­ко­вые объ­емы раз­лич­ных жид­ко­стей. Если бру­сок из пласт­мас­сы по­ме­стить в пер­вый со­суд, то он пла­ва­ет в нем, при­чем сто­ро­на брус­ка, име­ю­щая дли­ну пер­пен­ди­ку­ляр­на по­верх­но­сти жид­ко­сти, и вы­со­та вы­сту­па­ю­щей ча­сти рав­на Если этот бру­сок по­ме­стить во вто­рой со­суд, то вы­со­та вы­сту­па­ю­щей ча­сти ста­нет Ка­кой бу­дет ве­ли­чи­на вы­сту­па­ю­щей ча­сти если жид­ко­сти слить в один со­суд? Счи­тать, что жид­ко­сти сме­ши­ва­ют­ся без из­ме­не­ния сум­мар­но­го объ­ема.

Тело, со­сто­я­щее из кус­ка льда и вмерз­ше­го в него алю­ми­ни­е­во­го брус­ка, пла­ва­ет в воде так, что под во­дой на­хо­дит­ся объ­ема тела. Ка­кой про­цент льда дол­жен рас­та­ять, что­бы тело пол­но­стью по­гру­зи­лось в воду? Плот­ность воды кг/м³, плот­ность льда кг/м³, плот­ность алю­ми­ния кг/м³.

Пла­сти­ли­но­вый ша­рик в мо­мент бро­са­ют с го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти Зем­ли под уг­лом к го­ри­зон­ту. Од­но­вре­мен­но с не­ко­то­рой вы­со­ты над по­верх­но­стью Зем­ли на­чи­на­ет па­дать из со­сто­я­ния по­коя дру­гой та­кой же ша­рик. Ша­ри­ки аб­со­лют­но не­упру­го стал­ки­ва­ют­ся в воз­ду­хе. Сра­зу по­сле столк­но­ве­ния ско­рость ша­ри­ков на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но. Вре­мя от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Зем­лю рав­но С ка­кой на­чаль­ной ско­ро­стью был бро­шен пер­вый ша­рик? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Об­ос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых для ре­ше­ния за­да­чи.

Не­ве­со­мый стер­жень с дву­мя ма­лы­ми гру­зи­ка­ми мас­са­ми г и г, рас­по­ло­жен­ны­ми в точ­ках и со­от­вет­ствен­но, шар­нир­но за­креп­лен в точ­ке Груз мас­сой г под­ве­шен к иде­аль­но­му бло­ку за не­ве­со­мую и не­рас­тя­жи­мую нить, дру­гой ко­нец ко­то­рой со­еди­нен с ниж­ним кон­цом стерж­ня, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вся си­сте­ма на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, если стер­жень от­кло­нен от вер­ти­ка­ли на угол а нить со­став­ля­ет угол с вер­ти­ка­лью, рав­ный Рас­сто­я­ние см. Опре­де­ли­те дли­ну стерж­ня пре­не­бре­гая тре­ни­ем в шар­ни­ре. Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на груз и стер­жень.

Об­ос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых для ре­ше­ния за­да­чи.

На ка­кой угол надо от­кло­нить ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник, что­бы при воз­ник­ших ко­ле­ба­ни­ях уско­ре­ние ма­ят­ни­ка в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни было рав­но уско­ре­нию в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия?

Не­боль­шой ша­рик па­да­ет вер­ти­каль­но вниз на плос­кость, на­кло­нен­ную под уг­лом к го­ри­зон­ту. За мгно­ве­ние до аб­со­лют­но упру­го­го столк­но­ве­ния с плос­ко­стью ско­рость ша­ри­ка рав­на На ка­ком рас­сто­я­нии от ме­ста па­де­ния ша­рик вто­рой раз кос­нет­ся плос­ко­сти? Че­рез ка­кое вре­мя это про­изой­дет?

От гру­за, не­по­движ­но ви­ся­ще­го на не­ве­со­мой пру­жи­не жест­ко­стью от­де­лил­ся с на­чаль­ной ско­ро­стью, рав­ной нулю, его фраг­мент. По­сле это­го при воз­ник­ших ко­ле­ба­ни­ях остав­ша­я­ся часть гру­за под­ни­ма­лась на мак­си­маль­ную вы­со­ту от­но­си­тель­но пер­во­на­чаль­но­го по­ло­же­ния. Ка­ко­ва мас­са от­де­лив­ше­го­ся от гру­за фраг­мен­та?

Гру­зы с оди­на­ко­вы­ми мас­са­ми свя­за­ны ни­тью. Меж­ду ними встав­ле­на лег­кая пру­жи­на жест­ко­стью , сжа­тая на ве­ли­чи­ну . Гру­зы дви­жут­ся со ско­ро­стью вдоль пря­мой, со­став­ля­ю­щей угол с осью си­сте­мы (см. ри­су­нок). По­сле пе­ре­жи­га­ния нити один из гру­зов по­ле­тел пер­пен­ди­ку­ляр­но пер­во­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию дви­же­ния. Най­ти мас­су гру­за.

На по­верх­но­сти жид­ко­сти пла­ва­ет приз­ма­ти­че­ское тело, по­гру­жен­ное в жид­кость на глу­би­ну Опре­де­лить пе­ри­од ма­лых ко­ле­ба­ний тела, если вяз­кое со­про­тив­ле­ние жид­ко­сти дви­же­нию тела пре­не­бре­жи­мо мало.

В со­об­ща­ю­щих­ся со­су­дах ци­лин­дри­че­ской фор­мы на­ли­та ртуть. Най­ти пе­ри­од ма­лых ко­ле­ба­ний рту­ти, если пло­щадь по­пе­реч­но­го се­че­ния каж­до­го со­су­да см², мас­са рту­ти г, плот­ность рту­ти кг/м³. Тре­ни­ем пре­не­бречь.

Од­но­род­ный тон­кий стер­жень мас­сой од­ним кон­цом шар­нир­но при­креп­лён к по­тол­ку, а дру­гим кон­цом опи­ра­ет­ся на мас­сив­ную го­ри­зон­таль­ную дос­ку, об­ра­зуя с ней угол Под дей­стви­ем го­ри­зон­таль­ной силы дос­ка дви­жет­ся по­сту­па­тель­но вле­во с по­сто­ян­ной ско­ро­стью (см. ри­су­нок). Стер­жень при этом не­по­дви­жен. Най­ди­те если а ко­эф­фи­ци­ент тре­ния стерж­ня по дос­ке Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на стер­жень и дос­ку. Тре­ни­ем дос­ки по опо­ре и тре­ни­ем в шар­ни­ре пре­не­бречь. Об­ос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых для ре­ше­ния за­да­чи.

Од­но­род­ный бру­сок AB мас­сой M по­сто­ян­но­го пря­мо­уголь­но­го се­че­ния ле­жит на глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти сто­ла, све­ши­ва­ясь с него ме­нее чем на­по­ло­ви­ну (см. ри­су­нок). К пра­во­му кон­цу брус­ка при­креп­ле­на лёг­кая не­рас­тя­жи­мая нить. Дру­гой ко­нец нити за­креп­лён на мень­шем из двух дис­ков иде­аль­но­го со­став­но­го бло­ка. На боль­шем дис­ке это­го бло­ка за­креп­ле­на дру­гая лёг­кая не­рас­тя­жи­мая нить, на ко­то­рой ви­сит груз мас­сой Дис­ки скреп­ле­ны друг с дру­гом, об­ра­зуя еди­ное це­лое. Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на бру­сок M, блок и груз m. Най­ди­те ми­ни­маль­ное зна­че­ние M, при ко­то­ром си­сте­ма тел оста­ёт­ся не­по­движ­ной. Об­ос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых при ре­ше­нии за­да­чи.

С об­ры­ва бро­си­ли ка­мень под не­ко­то­рым уг­лом к го­ри­зон­ту с на­чаль­ной ско­ро­стью При­зем­лил­ся он, имея ско­рость на­прав­лен­ную пер­пен­ди­ку­ляр­но Най­ди­те вре­мя по­ле­та.

Из од­ной точ­ки, рас­по­ло­жен­ной до­ста­точ­но вы­со­ко над по­верх­но­стью зем­ли, од­но­вре­мен­но вы­ле­та­ют два кам­ня с го­ри­зон­таль­ны­ми про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ны­ми ско­ро­стя­ми и Че­рез ка­кое вре­мя ско­ро­сти этих кам­ней ста­нут перпен­ди­ку­лярны?

Ко­ле­со ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Ско­рость цен­тра ко­ле­са по­сто­ян­на и рав­на Най­ти ско­ро­сти ле­жа­щих на го­ри­зон­таль­ном диа­мет­ре ко­ле­са то­чек и а так­же ско­ро­сти ле­жа­щих на вер­ти­каль­ном диа­мет­ре ко­ле­са то­чек и (см. ри­су­нок).

Ко­ле­со ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Ско­рость цен­тра ко­ле­са по­сто­ян­на и рав­на Най­ти уско­ре­ния ле­жа­щих на го­ри­зон­таль­ном диа­мет­ре ко­ле­са то­чек и а так­же уско­ре­ния ле­жа­щих на вер­ти­каль­ном диа­мет­ре ко­ле­са то­чек и (см. ри­су­нок).

В без­вет­рен­ную по­го­ду вер­то­лет дви­гал­ся со ско­ро­стью точ­но на вос­ток. Най­ти ско­рость и курс вер­то­ле­та, если по­дул юго-вос­точ­ный ве­тер под уг­лом к ме­ри­ди­а­ну, а пи­лот не кор­рек­ти­ро­вал курс. Ско­рость вет­ра

Са­мо­лет, ско­рость ко­то­ро­го от­но­си­тель­но воз­ду­ха рав­на ле­тит на за­пад. Вне­зап­но по­дул юго-вос­точ­ный ве­тер со ско­ро­стью от­но­си­тель­но зем­ли. Опре­де­ли­те, под ка­ким уг­лом к на­прав­ле­нию на се­вер лет­чик дол­жен на­прав­лять са­мо­лет, что­бы про­дол­жать ле­теть на за­пад, и чему при этом бу­дет рав­на ско­рость са­мо­ле­та от­но­си­тель­но зем­ли.

Лест­ни­ца со­сто­ит из трех оди­на­ко­вых глад­ких сту­пе­нек ши­ри­ны и та­кой же вы­со­ты. На верх­ней сту­пень­ке рас­по­ло­жен ша­рик, ко­то­ро­му в плос­ко­сти ри­сун­ка при­да­ют го­ри­зон­таль­ную ско­рость (см. ри­су­нок). Ка­кую мак­си­маль­ную ско­рость мож­но при­дать ша­ри­ку, что­бы он по од­но­му разу кос­нул­ся сред­ней и ниж­ней сту­пе­нек? Удар ша­ри­ка о сту­пень­ку счи­тать аб­со­лют­но упру­гим, тре­ние и со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха не учи­ты­вать.

Ко­ле­со ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Ско­рость цен­тра ко­ле­са по­сто­ян­на и рав­на Най­ти ско­ро­сти то­чек, рас­по­ло­жен­ных на обо­де ко­ле­са на вы­со­те от ниж­ней точ­ки ко­ле­са.

Сте­на и пол об­ра­зу­ют пря­мой угол. В этом углу на­хо­дит­ся не­де­фор­ми­ру­е­мый стер­жень, ко­нец ко­то­ро­го отъ­ез­жа­ет от сте­ны с по­сто­ян­ной ско­ро­стью Най­ти за­ви­си­мость ско­ро­сти дру­го­го кон­ца стерж­ня от угла об­ра­зо­ван­но­го стерж­нем и по­лом для про­ме­жут­ка вре­ме­ни, пока верх­ний ко­нец стерж­ня не от­ры­ва­ет­ся от сте­ны.

Лод­ка под­тя­ги­ва­ет­ся к вы­со­ко­му бе­ре­гу озе­ра при по­мо­щи ве­рев­ки, ко­то­рую вы­би­ра­ют с по­сто­ян­ной ско­ро­стью Най­ти за­ви­си­мость ско­ро­сти лод­ки от угла, об­ра­зо­ван­но­го ве­рев­кой с го­ри­зон­том.

По­строй­те при­мер­ный гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти точ­ки от вре­ме­ни, если ско­рость точ­ки по­сто­ян­на. Най­ди­те фор­му­лу этой за­ви­си­мо­сти, если

Точ­ка дви­жет­ся по окруж­но­сти ра­ди­у­са с по­сто­ян­ной уг­ло­вой ско­ро­стью Вы­ве­ди­те фор­му­лу для цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния.

Диск на­чи­на­ет дви­же­ние из со­сто­я­ния по­коя и вра­ща­ет­ся рав­но­уско­рен­но. Ка­ким бу­дет угол меж­ду век­то­ра­ми ско­ро­сти и уско­ре­ния про­из­воль­ной точ­ки дис­ка, ко­гда он сде­ла­ет один обо­рот?

Най­ти ве­ли­чи­ну уг­ло­во­го уско­ре­ния вра­ща­ю­ще­го­ся рав­но­уско­рен­но ко­ле­са, если из­вест­но, что че­рез вре­мя по­сле на­ча­ла дви­же­ния век­тор пол­но­го уско­ре­ния точ­ки, ле­жа­щей на обо­де, со­став­ля­ет угол век­то­ром ли­ней­ной ско­ро­сти