Задачи

Кос­ми­че­ский ко­рабль стар­ту­ет с на­чаль­ной мас­сой и ну­ле­вой на­чаль­ной ско­ро­стью в про­стран­стве, сво­бод­ном от поля тя­го­те­ния. Мас­са ко­раб­ля ме­ня­ет­ся во вре­ме­ни по за­ко­ну ско­рость про­дук­тов сго­ра­ния от­но­си­тель­но ко­раб­ля по­сто­ян­на и рав­на Ка­кое рас­сто­я­ние прой­дет ко­рабль к мо­мен­ту, ко­гда его мас­са умень­шит­ся в 1000 раз?

Най­ди­те уско­ре­ние тел си­сте­мы, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. Сила при­ло­же­на по на­прав­ле­нию нити к телу мас­сой Участ­ки нити по обе сто­ро­ны от лег­ко­го бло­ка, при­креп­лен­но­го к телу мас­сы па­рал­лель­ны.

В со­су­де, вер­ти­каль­ное се­че­ние ко­то­ро­го изоб­ра­же­но на ри­сун­ке, на­хо­дят­ся в рав­но­ве­сии два не­ве­со­мых порш­ня, со­еди­нен­ные не­ве­со­мой не­рас­тя­жи­мой ни­тью. Про­стран­ство меж­ду порш­ня­ми за­пол­не­но жид­ко­стью, плот­ность ко­то­рой Най­ти силу на­тя­же­ния нити если пло­ща­ди порш­ней и а дли­на нити Тре­ни­ем порш­ней о стен­ки со­су­да пре­не­бречь, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния

В ци­лин­дри­че­ский со­суд с во­дой опус­ка­ют де­ре­вян­ный шар ра­ди­у­сом вну­три ко­то­ро­го по­ме­щен свин­цо­вый гру­зик мас­сой На ка­кую вы­со­ту под­ни­мет­ся при этом уро­вень воды в со­су­де, если пло­щадь его дна плот­ность воды плот­ность де­ре­ва плот­ность свин­ца

За­пи­ши­те урав­не­ние гар­мо­ни­че­ских ко­ле­ба­ний и его ре­ше­ние для вер­ти­каль­но­го пру­жин­но­го ма­ят­ни­ка. Сде­лай­те ани­ма­цию, где урав­не­ние дви­же­ния ма­ят­ни­ка бу­дет за­да­но ука­зан­ны­ми урав­не­ни­я­ми. Ре­ши­те за­да­чу, вы­брав ноль от­сче­та в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия; в край­них точ­ках; в кон­це не­де­фор­ми­ро­ван­ной пру­жи­ны.

Мас­сив­ная пли­та под­ни­ма­ет­ся вер­ти­каль­но вверх с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. Пли­ту до­го­ня­ет ша­рик, име­ю­щий не­по­сред­ствен­но пе­ред уда­ром ско­рость, на­прав­лен­ную под уг­лом к го­ри­зон­ту (см. ри­су­нок). По­сле аб­со­лют­но упру­го­го уда­ра о глад­кую по­верх­ность пли­ты ша­рик от­ска­ки­ва­ет со ско­ро­стью со­став­ля­ю­щей угол с го­ри­зон­том.

1. Най­ди­те ско­рость ша­ри­ка пе­ред уда­ром о пли­ту.

2. Най­ди­те ско­рость пли­ты.

От­вет до­ста­точ­но вы­ра­зить че­рез кор­ни из це­лых чи­сел.

При оса­де древ­ней кре­по­сти оса­ждён­ные вели стрель­бу по на­сту­па­ю­ще­му про­тив­ни­ку с по­мо­щью ка­та­пульт из-за кре­пост­ной сте­ны вы­со­той На­чаль­ная ско­рость сна­ря­дов На ка­ком мак­си­маль­ном рас­сто­я­нии от сте­ны на­хо­ди­лись цели, ко­то­рых мог­ли до­сти­гать сна­ря­ды ка­та­пульт?

Ко­ле­со ра­ди­у­са ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния меж­ду дву­мя па­рал­лель­ны­ми рей­ка­ми, име­ю­щи­ми ско­ро­сти и (см. ри­су­нок). Най­ти ско­рость цен­тра ко­ле­са и уг­ло­вую ско­рость вра­ще­ния ко­ле­са

Ско­рость те­че­ния реки ско­рость ка­те­ра от­но­си­тель­но воды Под ка­ким уг­лом к бе­ре­гу дол­жен дви­гать­ся ка­тер, что­бы пе­ре­сечь реку по крат­чай­ше­му пути?

По окруж­но­сти ра­ди­у­сом с по­сто­ян­ной ско­ро­стью бе­жит ло­шадь. На рас­сто­я­нии от цен­тра окруж­но­сти сто­ит че­ло­век. Чему рав­но мак­си­маль­ное зна­че­ние ско­ро­сти сбли­же­ния ло­ша­ди и че­ло­ве­ка?

С ка­кой ми­ни­маль­ной ско­ро­стью не­об­хо­ди­мо бро­сить мяч, что­бы он пе­ре­ле­тел че­рез дом вы­со­той и ши­ри­ной

Го­ри­зон­таль­но ле­тя­щий мя­чик аб­со­лют­но упру­го от­ра­жа­ет­ся от на­клон­ной плос­ко­сти в точ­ке При ка­ких зна­че­ни­ях угла на­кло­на плос­ко­сти он опять по­па­дет в точ­ку

Ма­лень­кий ша­рик па­да­ет с вы­со­ты без на­чаль­ной ско­ро­сти на на­клон­ную плос­кость, со­став­ля­ю­щую угол с го­ри­зон­том.

а) Най­ти рас­сто­я­ние меж­ду точ­ка­ми пер­во­го и вто­ро­го со­уда­ре­ний ша­ри­ка c на­клон­ной плос­ко­стью.

б)* Най­ти рас­сто­я­ние меж­ду точ­ка­ми вто­ро­го и тре­тье­го со­уда­ре­ний ша­ри­ка c на­клон­ной плос­ко­стью.

Со­уда­ре­ния счи­тать аб­со­лют­но упру­ги­ми, со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Тело мас­сой име­ю­щее на­чаль­ную ско­рость по­па­да­ет в вяз­кую сре­ду, сила со­про­тив­ле­ния дви­же­нию тела ко­то­рой про­пор­ци­о­наль­на его ско­ро­сти: где — из­вест­ный ко­эф­фи­ци­ент.

а) Опре­де­лить путь, прой­ден­ный те­лом до оста­нов­ки.
б)* По­лу­чи­те за­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни.
в)* По­лу­чи­те за­ви­си­мость ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни.

Три оди­на­ко­вые не­ве­со­мые пру­жи­ны при­креп­ле­ны в точ­ках и к го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. В точ­ке к ним под­ве­шен груз мас­сой Дли­ны от­рез­ков и рав­ны дли­не не­де­фор­ми­ро­ван­ных пру­жин. Углы, ко­то­рые пру­жи­ны и со­став­ля­ют с вер­ти­ка­лью, рав­ны Опре­де­ли­те мо­дуль уско­ре­ния гру­за сра­зу по­сле вне­зап­но­го раз­ры­ва пру­жи­ны Мо­дуль уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния при­ми­те рав­ным

В си­сте­ме тел, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке, гру­зы 1 и 2 име­ют оди­на­ко­вые мас­сы а мас­са гру­за 3 рав­на Гру­зы под­ве­ше­ны к бло­кам на не­ве­со­мых и не­рас­тя­жи­мых ни­тях. От­рез­ки ни­тей, со­еди­ня­ю­щие бло­ки, вер­ти­каль­ны, бло­ки не­ве­со­мы, тре­ния в осях бло­ков нет. Най­ти уско­ре­ние гру­за 3. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять рав­ным

С ка­кой си­лой да­вит на зем­лю кобра, ко­гда, го­то­вясь к прыж­ку, под­ни­ма­ет­ся вер­ти­каль­но со ско­ро­стью Мас­са змеи ее дли­на

На­хо­дясь на на­клон­ной плос­ко­сти, не­боль­шое тело бро­са­ют вверх вдоль нее. До­ка­жи­те, что для до­сти­же­ния мак­си­маль­ной даль­но­сти по­ле­та не­об­хо­ди­мо бро­сать так, что­бы ко­неч­ная ско­рость ока­за­лась пер­пен­ди­ку­ляр­на на­чаль­ной. Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь. Счи­тать, что тело бро­са­ют с ну­ле­вой вы­со­ты над на­клон­ной плос­ко­стью.

По вну­трен­ней по­верх­но­сти за­креп­лен­но­го ци­лин­дра ра­ди­у­са ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния ко­ле­со ра­ди­у­са Най­ди­те тра­ек­то­рию точ­ки обо­да ко­ле­са.

Бу­син­ка мо­жет дви­гать­ся по коль­цу ра­ди­у­са под­тал­ки­ва­е­мая спи­цей, рав­но­мер­но вра­ща­ю­щей­ся с уг­ло­вой ско­ро­стью в плос­ко­сти коль­ца. Ось вра­ще­ния спи­цы на­хо­дит­ся на коль­це. Опре­де­ли­те уско­ре­ние бу­син­ки.

Ка­кая шай­ба, вра­ща­ю­ща­я­ся во­круг сво­ей оси или не вра­ща­ю­ща­я­ся, прой­дет боль­ший путь до оста­нов­ки на ше­ро­хо­ва­той го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти? На­чаль­ная ско­рость цен­тров шайб оди­на­ко­ва.

До­воль­но упру­гий фут­боль­ный мяч бро­са­ют го­ри­зон­таль­но с не­ко­то­рой вы­со­ты, со­об­щая ему по­сту­па­тель­ное дви­же­ние в на­прав­ле­нии ше­ро­хо­ва­той сте­ны в спор­тив­ном зале. Все брос­ки со­вер­ша­ют из од­ной точ­ки, ме­няя толь­ко мо­дуль на­чаль­ной ско­ро­сти По­сле оста­нов­ки мяча каж­дый раз из­ме­ря­ют рас­сто­я­ние от него до сте­ны. На гра­фи­ке изоб­ра­же­ны ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний (каж­дая точ­ка со­от­вет­ству­ет од­но­му из­ме­ре­нию) для не­боль­шо­го диа­па­зо­на ско­ро­стей. Объ­яс­ни­те, осно­вы­ва­ясь на фи­зи­че­ских за­ко­нах, по­че­му при не­зна­чи­тель­ном уве­ли­че­нии на­чаль­ной ско­ро­сти мно­го­крат­но уве­ли­чи­ва­ет­ся рас­сто­я­ние меж­ду мя­чом и сте­ной. Пол в спор­тив­ном зале го­ри­зон­таль­ный, до про­ти­во­по­лож­ной сте­ны мяч не до­ка­ты­ва­ется.

Пла­сти­ли­но­вый шар не­по­движ­но под­ве­шен на вер­ти­каль­ной пру­жи­не, верх­ний ко­нец ко­то­рой при­креп­лен к по­тол­ку. Сни­зу на него на­ле­та­ет та­кой же шар, ско­рость ко­то­ро­го пе­ред со­уда­ре­ни­ем рав­на и меж­ду те­ла­ми при­с­хо­дит аб­со­лют­но не­упру­гий удар, по­сле ко­то­ро­го тела дви­жут­ся по­сту­па­тель­но вер­ти­каль­но вверх. На­чав­ши­е­ся ко­ле­ба­ния та­ко­вы, что в выс­шей точ­ке подъ­ема гру­зов пру­жи­на не де­фор­ми­ро­ва­на. Най­ди­те вре­мя по­сле со­уда­ре­ния, че­рез ко­то­рое ско­рость ша­ров впер­вые до­стиг­нет мак­си­маль­но­го зна­че­ния.

Гру­зы мас­са­ми и со­еди­не­ны вер­ти­каль­ной пру­жи­ной жест­ко­стью Сна­ча­ла си­сте­му удер­жи­ва­ют не­по­движ­но за верх­ний груз мас­сой за­тем ак­ку­рат­нень­ко от­пус­ка­ют. Най­ти за­ко­ны дви­же­ния для обо­их гру­зов, изоб­ра­зить за­ви­си­мо­сти на гра­фи­ках

Глад­кий клин мас­сой мо­жет сколь­зить без тре­ния по го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти. На его грань, об­ра­зу­ю­щую угол с го­ри­зон­том, по­ло­жи­ли глад­кий бру­сок мас­сой Опре­де­лить уско­ре­ние кли­на.

Тело мас­сой бро­си­ли под уг­лом к го­ри­зон­ту со ско­ро­стью Сила со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха про­пор­ци­о­наль­на ско­ро­сти: где — из­вест­ный ко­эф­фи­ци­ент. Со­ставь­те урав­не­ния, ре­ше­ния ко­то­рых пред­став­ля­ют со­бой за­ко­ны дви­же­ния и Про­ана­ли­зи­руй­те по­лу­чен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния и изоб­ра­зи­те схе­ма­ти­че­ски гра­фи­ки и

Ма­лень­кая шай­боч­ка ле­жит на вер­ши­не по­лу­сфе­ры, ко­то­рая по­ко­ит­ся на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти. От не­зна­чи­тель­но­го воз­дей­ствия шай­боч­ка на­чи­на­ет со­скаль­зы­вать с по­лу­сфе­ры. От­рыв про­ис­хо­дит на вы­со­те где — ра­ди­ус по­лу­сфе­ры. Най­ди­те от­но­ше­ние мас­сы по­лу­сфе­ры к мас­се шай­боч­ки Тре­ни­ем меж­ду по­лу­сфе­рой и плос­ко­стью, а так­же меж­ду по­лу­сфе­рой и шай­боч­кой пре­не­бречь.

К вну­трен­ней по­верх­но­сти тон­ко­стен­но­го об­ру­ча при­креп­лён не­боль­шой ша­рик (см. ри­су­нок). Мас­са об­ру­ча рав­на мас­са ша­ри­ка где и од­но­го по­ряд­ка), ра­ди­ус об­ру­ча Об­руч мо­жет без про­скаль­зы­ва­ния ка­тать­ся по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти. Чему ра­вен пе­ри­од ко­ле­ба­ний об­ру­ча око­ло по­ло­же­ния рав­но­ве­сия в слу­чае ма­лых ам­пли­туд? Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния рав­но

Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся по го­ри­зон­таль­ной до­ро­ге, по­па­да­ет в по­ло­су до­ждя, кап­ли ко­то­ро­го па­да­ют на зем­лю вер­ти­каль­но с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. Из­вест­но, что при ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля на его на­клон­ное ло­бо­вое стек­ло по­па­да­ет до­жде­вых ка­пель в се­кун­ду, а при ско­ро­сти это чис­ло воз­рас­та­ет до ка­пель в се­кун­ду. Сколь­ко ка­пель бу­дет по­па­дать в ло­бо­вое стек­ло за 1 се­кун­ду, если ав­то­мо­биль оста­но­вит­ся?

По окруж­но­сти ра­ди­у­са за­мед­ля­ясь, дви­жет­ся точ­ка, ско­рость ко­то­рой в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни была рав­на ве­ли­чи­не В каж­дый мо­мент вре­ме­ни тан­ген­ци­аль­ная и нор­маль­ная со­став­ля­щие уско­ре­ния точ­ки рав­ны по мо­ду­лю. Чему рав­на пол­ная ве­ли­чи­на мо­ду­ля уско­ре­ния точ­ки в мо­мент вре­ме­ни, ко­гда она про­шла путь

Нить пе­ре­бро­ше­на че­рез глад­кие го­ри­зон­таль­ные стер­жни 1 и 2, рас­сто­я­ние меж­ду ко­то­ры­ми рав­но На кон­цах нити и в ее се­ре­ди­не удер­жи­ва­ют­ся оди­на­ко­вые гру­зы A, B и C. В не­ко­то­рый мо­мент гру­зы от­пус­ка­ют без на­чаль­ной ско­ро­сти. Най­ти ско­рость гру­за C, ко­гда ки­не­ти­че­ская энер­гия си­сте­мы гру­зов мак­си­маль­на.

Ра­ке­та дви­жет­ся в от­сут­ствие внеш­них сил с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Ско­рость ис­те­че­ния газа от­но­си­тель­но ра­ке­ты по­сто­ян­на и рав­на В мо­мент вре­ме­ни на­чаль­ная мас­са ра­ке­ты рав­на Най­ти за­кон из­ме­не­ния мас­сы ра­ке­ты со вре­ме­нем.

Две оди­на­ко­вые ма­лень­кие бу­син­ки мо­гут дви­гать­ся без тре­ния по глад­ко­му го­ри­зон­таль­но­му стерж­ню. Бу­син­ки свя­за­ны лег­кой не­рас­тя­жи­мой ни­тью дли­ной К се­ре­ди­не нити при­креп­ле­на еще одна та­кая же бу­син­ка. Вна­ча­ле эту (сред­нюю) бу­син­ку удер­жи­ва­ют так, что нить не на­тя­ну­та, но прак­ти­че­ски не про­ви­са­ет, за­тем бу­син­ку от­пус­ка­ют, в ре­зуль­та­те си­сте­ма на­чи­на­ет дви­гать­ся без рыв­ков. Най­ди­те ско­ро­сти всех бу­си­нок в мо­мент, ко­гда рас­сто­я­ние меж­ду край­ни­ми бу­син­ка­ми рав­но (см. ри­су­нок). Мас­сы всех трех бу­си­нок оди­на­ко­вы. Счи­тая мас­су бу­син­ки опре­де­ли­те, чему рав­на сила на­тя­же­ния нити в этот мо­мент вре­ме­ни.

Плат­фор­ма мас­сой на­чи­на­ет дви­гать­ся впра­во под дей­стви­ем по­сто­ян­ной силы Из не­по­движ­но­го бун­ке­ра на нее вы­сы­па­ет­ся пе­сок. Ско­рость по­груз­ки по­сто­ян­на и рав­на кг/с. Пре­не­бре­гая тре­ни­ем, най­ти за­ви­си­мость от вре­ме­ни уско­ре­ния плат­фор­мы в про­цес­се по­груз­ки. Опре­де­лить уско­ре­ние плат­фор­мы в слу­чае, если пе­сок не на­сы­па­ет­ся на плат­фор­му, а из на­пол­нен­ной вы­сы­па­ет­ся че­рез от­вер­стие в ее дне с по­сто­ян­ной ско­ро­стью кг/с.

Меж­ду дву­мя стен­ка­ми, об­ра­зу­ю­щи­ми пря­мой угол, дви­жет­ся без от­ры­ва стер­жень дли­ной Ско­рость точ­ки по­сто­ян­на, рав­на и на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но. Опре­де­ли­те ско­рость и уско­ре­ние точ­ки рас­по­ло­жен­ной на рас­сто­я­нии от точ­ки в мо­мент вре­ме­ни, ко­гда угол меж­ду го­ри­зон­таль­ной стен­кой и стерж­нем со­став­ля­ет

На го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти ле­жит клин с уг­лом при осно­ва­нии На кли­не ле­жит бру­со­чек. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду те­ла­ми ра­вен при­чем Клин на­чи­на­ют мед­лен­но при­под­ни­мать, по­во­ра­чи­вая во­круг сто­ро­ны На ка­кой угол нуж­но по­вер­нуть го­ри­зон­таль­ное осно­ва­ние кли­на, что­бы бру­со­чек со­скольз­нул с плос­кос­ти?

Груз мас­сой ле­жит на го­ри­зон­таль­ном плос­ком сто­ле, вра­ща­ю­щем­ся с уг­ло­вой ско­ро­стью во­круг вер­ти­каль­ной оси, к ко­то­рой он при­креп­лен с по­мо­щью не­ве­со­мой пру­жи­ны в не­де­фор­ми­ро­ван­ном со­сто­я­нии дли­ной и жест­ко­стью Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду сто­лом и гру­зом Опре­де­лить, на ка­ком рас­сто­я­нии мо­жет на­хо­дить­ся груз от оси вра­ще­ния.

Ра­ке­та стар­ту­ет в кос­ми­че­ском про­стран­стве. Ско­рость ис­те­че­ния газа в ре­ак­тив­ной струе от­но­си­тель­но ра­ке­ты рав­на На­чаль­ная мас­са ра­ке­ты c топ­ли­вом рав­на Най­ди­те за­ви­си­мость ско­ро­сти ра­ке­ты от мас­сы ра­ке­ты Вли­я­ни­ем дру­гих тел на ра­ке­ту пре­не­бречь.

Ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник от­кло­ни­ли на угол от вер­ти­ка­ли и от­пу­сти­ли. При ка­ком угле уско­ре­ние ма­ят­ни­ка бу­дет мак­си­маль­но? Ми­ни­маль­но?

Под ка­ким уг­лом к го­ри­зон­ту надо бро­сить ка­мень, что­бы он все вре­мя уда­лял­ся от ме­ста бро­са­ния?