Задача #1126 ← →

Примечание

Условие устойчивого равновесия можно сформулировать либо через силы, либо через энергию.

Динамическое определение: устой­чи­вым называется такое равновесие, при выведении из которого возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия.

Значит, нигде в нашей сферической полости не должна реализоваться ситуация, когда будет иметь бо́льшую по модулю проекцию на касательную к полости, чем сила Кулона. Решение содержит только эту идею и выглядит довольно простым. Однако попытаемся разобраться, что же мы на самом деле в этом решении делаем.

Сначала мы браво уничтожаем теряя при этом почти подходящий случай Но физически нас эта ситуация не интересует — верхний шарик находится в верхней точке полости, а в этом положении и и имеют нулевую проекцию на ось

Приравнивая к единице, мы как раз и говорим, что сила тяжести нигде на полусфере не будет иметь бо́льшую по модулю проекцию на тангенциальную ось, чем сила Кулона.

Интересно посмотреть, как зависит этот самый где силы тяжести и Кулона сравниваются в проекции на тангенциальную ось, от величины заряда Для этого воспользуемся энергетическим определением для устойчивого равновесия: равновесие называется устойчивым, если ему соответствует минимум потенциальной энергии.

Потенциальная энергия верхнего шарика равна:

Примем Кл, м, кг, м/с². Тогда величина минимального заряда равна Кл.

Красной точкой на графике отмечен минимум потенциальной энергии, где как раз и будет положение устойчивого равновесия в случае Когда значение достигает значения точка устойчивого равновесия доползает до самого верха полусферы, чего мы и желаем. При дальнейшем увеличении заряда минимум потенциальной энергии остается в верхней точке полусферы.

Ежели вам не по нраву анимированные графики, поглядите на поверхность, которую образует функция Эта поверхность демонстрирует все кривые с анимированного графика еди­но­вре­менно. Красной линией показано при

Видно, что при малом значении (темно-синий цвет) потенциальная энергия сначала убывает. Участок убывания потенциальной энергии (все менее и менее выраженный) есть всегда, пока Все зависимости выше красной линии, то есть при возрастают монотонно.