Задача #1126 ← →

При­ме­ча­ние

Усло­вие устой­чи­во­го рав­но­ве­сия мож­но сфор­му­ли­ро­вать либо че­рез силы, либо че­рез энер­гию.

Ди­на­ми­че­ское опре­де­ле­ние: устой­чи­вым на­зы­ва­ет­ся та­кое рав­но­ве­сие, при вы­ве­де­нии из ко­то­ро­го воз­ни­ка­ют вну­трен­ние силы, стре­мя­щи­е­ся вер­нуть тело в по­ло­же­ние рав­но­ве­сия.

Зна­чит, ни­где в на­шей сфе­ри­че­ской по­ло­сти не долж­на ре­а­ли­зо­вать­ся си­ту­а­ция, ко­гда бу­дет иметь бо́льшую по мо­ду­лю про­ек­цию на ка­са­тель­ную к по­ло­сти, чем сила Ку­ло­на. Ре­ше­ние со­дер­жит толь­ко эту идею и вы­гля­дит до­воль­но про­стым. Од­на­ко по­пы­та­ем­ся разо­брать­ся, что же мы на са­мом деле в этом ре­ше­нии де­ла­ем.

Сна­ча­ла мы бра­во уни­что­жа­ем те­ряя при этом по­чти под­хо­дя­щий слу­чай Но фи­зи­че­ски нас эта си­ту­а­ция не ин­те­ре­су­ет — верх­ний ша­рик на­хо­дит­ся в верх­ней точ­ке по­ло­сти, а в этом по­ло­же­нии и и име­ют ну­ле­вую про­ек­цию на ось

При­рав­ни­вая к еди­ни­це, мы как раз и го­во­рим, что сила тя­же­сти ни­где на по­лу­сфе­ре не бу­дет иметь бо́льшую по мо­ду­лю про­ек­цию на тан­ген­ци­аль­ную ось, чем сила Ку­ло­на.

Ин­те­рес­но по­смот­реть, как за­ви­сит этот са­мый где силы тя­же­сти и Ку­ло­на срав­ни­ва­ют­ся в про­ек­ции на тан­ген­ци­аль­ную ось, от ве­ли­чи­ны за­ря­да Для это­го вос­поль­зу­ем­ся энер­ге­ти­че­ским опре­де­ле­ни­ем для устой­чи­во­го рав­но­ве­сия: рав­но­ве­сие на­зы­ва­ет­ся устой­чи­вым, если ему со­от­вет­ству­ет ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии.

По­тен­ци­аль­ная энер­гия верх­не­го ша­ри­ка рав­на:

При­мем То­гда ве­ли­чи­на ми­ни­маль­но­го за­ря­да рав­на

Крас­ной точ­кой на гра­фи­ке от­ме­чен ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии, где как раз и бу­дет по­ло­же­ние устой­чи­во­го рав­но­ве­сия в слу­чае Ко­гда зна­че­ние до­сти­га­ет зна­че­ния точ­ка устой­чи­во­го рав­но­ве­сия до­пол­за­ет до са­мо­го вер­ха по­лу­сфе­ры, чего мы и же­ла­ем. При даль­ней­шем уве­ли­че­нии за­ря­да ми­ни­мум по­тен­ци­аль­ной энер­гии оста­ет­ся в верх­ней точ­ке по­лу­сфе­ры.

Еже­ли вам не по нра­ву ани­ми­ро­ван­ные гра­фи­ки, по­гля­ди­те на по­верх­ность, ко­то­рую об­ра­зу­ет функ­ция Эта по­верх­ность де­мон­стри­ру­ет все кри­вые с ани­ми­ро­ван­но­го гра­фи­ка еди­но­вре­менно. Крас­ной ли­ни­ей по­ка­за­но при

Вид­но, что при ма­лом зна­че­нии (тем­но-си­ний цвет) по­тен­ци­аль­ная энер­гия сна­ча­ла убы­ва­ет. Уча­сток убы­ва­ния по­тен­ци­аль­ной энер­гии (все ме­нее и ме­нее вы­ра­жен­ный) есть все­гда, пока Все за­ви­си­мо­сти выше крас­ной ли­нии, то есть при воз­рас­та­ют мо­но­тон­но.