Задача #1143 ← →
В сферическую полость поместили гантель (два шарика массы каждый, соединенные невесомым стержнем) так, как это показано на рисунке. Определите силу давления шариков на стенки сразу же после того, как гантель отпустили. Радиус шариков гантели много меньше радиуса сферы.
Решение
Примечание
-
В условии не хватает информации о том, что шарики изначально находятся на горизонтальном и вертикальном диаметрах.
-
Важно понять, что о равноускоренном движении речи не идет. Ускорение шариков будет меняться с течением времени, поскольку приложенные к шарикам силы будут менять и свое направление, и величину. Это не мешает, однако, записать второй закон Ньютона с использованием мгновенного ускорения для начальной ситуации.
-
Еще важнее понять, что ускорения шариков могут быть направлены по-разному относительно стержня.
-
Полное ускорение есть векторная сумма тангенциального и нормального ускорений. Нормальное ускорение (оно же центростремительное) в момент начала движения равно нулю, поскольку Значит, полное ускорение совпадает с тангенциальным, то есть направлено по касательной к траектории, которой является граница полости. Таким образом, в начале движения мгновенное ускорение верхнего шарика направлено вертикально вниз, а ускорение нижнего шарика — горизонтально влево.
-
Поскольку шарики соединены стержнем постоянной длины, проекции их мгновенных скоростей на стержень должны быть одинаковы:
Угол не меняется при движении стержня и всегда равен Значит, в момент начала движения и проекции тангенциальных ускорений на стержень равны: Строго говоря, это следует из дифференцирования уравнения по времени. Угол значит, тангенциальные ускорения шариков одинаковы по модулю.
В процессе движения у ускорений появится центростремительная компонента, но тангенциальные ускорения всегда будут равны по модулю. Уравнения (2) и (4) из исходной системы учитывают, что в начале движения центростремительная компонента ускорения равна нулю.
-
При желании можно показать, что и полные ускорения шариков будут равны при Однако отношение полных ускорений не равно
-
Поговорим о силах реакции и действующих со стороны стержня на шарики. Попробуйте ответить на вопрос: почему они равны и направлены вдоль стержня? Для этого надо рассмотреть парные по третьему закону Ньютона силы и действующие со стороны шариков на стержень. Эти силы должны компенсировать друг друга, иначе невесомый стержень будет иметь бесконечно большое ускорение:
Также эти силы должны быть направлены вдоль стержня, иначе из-за нескомпенсированного момента сил невесомый стержень приобретет бесконечно большое угловое ускорение.
Значит, и интересующие нас силы и также равны по модулю и направлены вдоль стержня.