Задача #1803 ← →

На­хо­дясь на на­клон­ной плос­ко­сти, не­боль­шое тело бро­са­ют вверх вдоль нее. До­ка­жи­те, что для до­сти­же­ния мак­си­маль­ной даль­но­сти по­ле­та не­об­хо­ди­мо бро­сать так, что­бы ко­неч­ная ско­рость ока­за­лась пер­пен­ди­ку­ляр­на на­чаль­ной. Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь. Счи­тать, что тело бро­са­ют с ну­ле­вой вы­со­ты над на­клон­ной плос­ко­стью.

Решение

Пусть на­клон­ная плос­кость со­став­ля­ет угол с го­ри­зон­том. Обо­зна­чим че­рез даль­ность по­ле­та вдоль на­клон­ной плос­ко­сти, а че­рез — угол меж­ду на­чаль­ной ско­ро­стью и ко­неч­ной ско­ро­стью

Так как тело дви­жет­ся толь­ко под дей­стви­ем силы тя­же­сти, го­ри­зон­таль­ная со­став­ля­ю­щая ско­ро­сти не ме­ня­ет­ся. По­это­му для го­ри­зон­таль­но­го пе­ре­ме­ще­ния мож­но за­пи­сать из­вест­ное со­от­но­ше­ние (см. за­да­чу #1802):

Так как тело ле­тит вверх вдоль на­клон­ной плос­ко­сти, го­ри­зон­таль­ное пе­ре­ме­ще­ние свя­за­но с даль­но­стью вдоль плос­ко­сти со­от­но­ше­ни­ем Сле­до­ва­тель­но,

С дру­гой сто­ро­ны, ко­неч­ная точ­ка тра­ек­то­рии выше на­чаль­ной на ве­ли­чи­ну

Вы­ра­зим ко­неч­ную ско­рость

Под­ста­вим сюда вы­ра­же­ние для

По­лу­ча­ем

Это квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но

Так как бе­рем по­ло­жи­тель­ный ко­рень:

До­мно­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на со­пря­жен­ное вы­ра­же­ние для скоб­ки:

Те­перь под­ста­вим это в фор­му­лу для даль­но­сти:

Пре­об­ра­зу­ем дробь:

При из­ме­не­нии на­прав­ле­ния брос­ка ве­ли­чи­на оста­ет­ся по­сто­ян­ной, по­это­му мак­си­мум даль­но­сти опре­де­ля­ет­ся толь­ко по­след­ним мно­жи­те­лем:

Так как то ве­ли­чи­на ми­ни­маль­на при Зна­чит, зна­ме­на­тель ми­ни­ма­лен, а даль­ность мак­си­маль­на имен­но при Сле­до­ва­тель­но,

То есть при мак­си­маль­ной даль­но­сти по­ле­та на­чаль­ная и ко­неч­ная ско­ро­сти пер­пен­ди­ку­ляр­ны:

Ответ