Задача #1803 ← →
Находясь на наклонной плоскости, небольшое тело бросают вверх вдоль нее. Докажите, что для достижения максимальной дальности полета необходимо бросать так, чтобы конечная скорость оказалась перпендикулярна начальной. Сопротивлением воздуха пренебречь. Считать, что тело бросают с нулевой высоты над наклонной плоскостью.
Решение
Пусть наклонная плоскость составляет угол с горизонтом. Обозначим через дальность полета вдоль наклонной плоскости, а через — угол между начальной скоростью и конечной скоростью .
Так как тело движется только под действием силы тяжести, горизонтальная составляющая скорости не меняется. Поэтому для горизонтального перемещения можно записать известное соотношение (см. задачу #1802):
Так как тело летит вверх вдоль наклонной плоскости, горизонтальное перемещение связано с дальностью вдоль плоскости соотношением Следовательно,
С другой стороны, конечная точка траектории выше начальной на величину
Выразим конечную скорость
Подставим сюда выражение для
Получаем
Это квадратное уравнение относительно
Так как , берем положительный корень:
Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для скобки:
Теперь подставим это в формулу для дальности:
Преобразуем дробь:
При изменении направления броска величина остается постоянной, поэтому максимум дальности определяется только последним множителем:
Так как то величина минимальна при Значит, знаменатель минимален, а дальность максимальна именно при Следовательно,
То есть при максимальной дальности полета начальная и конечная скорости перпендикулярны: