Задача #305 ← →

Примечание

Таких заданий на ЕГЭ не бывает. Здесь я решил поэкспериментировать над форматом и придумать посильное для школьников задание.

В таком задании нужно составить дифур или интеграл, решать которые не требуется. Получить решение, что называется, в квадратурах. Это очень полезный навык для безболезненного транзита между школьными и университетскими задачами. Иначе поступивший по ЕГЭ на физтех стобалльник совершенно теряется в первом семестре, не находя никакого сходства в алгоритме решения школьных и университетских задач.

Приведем решение полученных уравнений. Одиннадцатиклассник из школы с углубленным изучением математики при некоторых усилиях может полностью разобраться в приведенном решении, записано максимально подробно. Достаточно уметь заменять переменную интегрирования, знать формулу для производной произведения: и формулу для интегрирования по частям:

Анализ решений¹

Мы получили выражения для и

Как их проверить, не исследуя решение шаг за шагом?

• Математик продифференцирует решения два раза и подставит в исходные уравнения. Если получится верное равенство, то решено правильно.

• Но вдруг исходные уравнения записаны неверно и не соответствуют физической действительности (вернее, нашей модели)? Быстрее всего посмотреть на размерность. Например, степень экспоненты не может быть размерной, а вообще справа должны получаться метры.

• Физик после проверки размерности исследует крайние случаи. Очевидно, при сопротивления нет, тогда должен обратиться в до боли знакомое , а — в не менее знакомое

• Второй крайний случай: тело двигалось достаточно долго, тогда его горизонтальная компонента скорости обращается в нуль. Прикинем примерный вид соответствующей зависимости замедляющийся рост выходит на константу (затухающая экспонента).

• Раз так, с какого-то момента тело падает вертикально вниз. Но скорость его падения не может расти бесконечно: сила сопротивления неминуемо сравняется с силой тяжести, и тогда движение станет равномерным. То есть сначала похожая на параболу ветвями вниз функция переходит в убывающую прямую при больших

Проанализировать последние три пункта можно как аналитически, вычислив пределы, так и графически. Последнее я и предлагаю сделать при помощи анимированных картинок.

Анимированные графики

x(t)

График Варьируем Проверки пройдены (совпадение кривых при выход на константу при больших ). Код графика (Python).

y(t)

График Варьируем Проверки пройдены (совпадение кривых при выход на линейный спад при больших при снижении тела). Код графика (Python).

y(x)

Построим уравнение траектории Варьируем При получается настоящая парабола. Хорошо видно, что последний участок траектории становится все отвеснее с увеличением сопротивления. Также тело успевает меньше пролететь и по горизонтали, и по вертикали (обе кривые построены для движения в течение 5 секунд). Код графика (Python).

Время и дальность полета

Интересно хотя бы численно исследовать что-нибудь про дальность полета. Я решил исследовать вопрос о максимальной дальности полета — при каком угле она достигается? Хорошо известно, что без сопротивления воздуха этот угол составляет Попробуйте предсказать и качественно обосновать, каким образом соответствующий максимальной дальности полета угол будет меняться с увеличением коэффициента Анимация ниже показывает уравнение траектории для фиксированного значения При заданных начальных условиях максимальная дальность полета достигается при угле При увеличении угол будет еще меньше. Код графика (Python). Анимация для тех, кто никуда не спешит.