Задача #312 ← →
Маленькая шайбочка лежит на вершине полусферы, которая покоится на горизонтальной плоскости. Все гладкое до невозможности. От незначительного воздействия шайбочка начинает соскальзывать с полусферы. Отрыв происходит на высоте где — радиус полусферы. Найдите отношение массы полусферы к массе шайбочки
Решение
Примечание
Широко известна аналогичная задача с закрепленной полусферой (см. #51). Мне пришла в голову идея, что в случае подвижной полусферы задача становится куда интереснее. Беглый поиск в интернете к моему удивлению ничего не дал — идея-то на поверхности! Я хотел сначала искать высоту отрыва, как и в задаче #51, но оказалось, что получается кубическое уравнение и для и для
«Тогда красиво будет задать отношение и попросить найти отношение масс», — подумал я. Уже решив задачу в таком виде, я все-таки смог ее нагуглить: например, она давалась десятиклассникам на олимпиаде «Курчатов» в 2019 году, только задан был угол: Похоже, я прошел по той же цепочке размышлений, что и составители этой задачи. Числовое значение косинуса соответствует высоте отрыва Весьма характерно, поскольку интересно сравнить это с (ответ при неподвижной полусфере).
Вообще эта история показывает, что довольно сложно придумать принципиально новую задачу (не комбинацию известных идей), особенно по механике. Уверен, что большинству задач, на которых учатся юные физики, пару сотен лет.
Крайние случаи
1) При получается что ожидаемо: если полусфера очень тяжела, то она практически не двигается и высота отрыва будет такой же, как и в задаче #51.
2) При получается, что
Вообще говоря, это сводится к кубическому уравнению относительно с тремя корнями:
Нетрудно угадать ожидаемый корень то есть тело отрывается сразу на а полусфера выскальзывает мгновенно. Оставшиеся корни можно увидеть, представив уравнение в виде
откуда Оба эти корня нам не подходят, поскольку высота должна быть положительной и меньше радиуса