Задача #51 ← →

Не­боль­шая шай­ба со­скаль­зы­ва­ет с вер­ши­ны за­креп­лен­ной глад­кой по­лу­сфе­ры ра­ди­у­сом Най­ти, на ка­кой вы­со­те от пола про­изой­дет от­рыв шай­бы от по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры. Сде­лай­те чер­теж с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на шай­бу. Об­ос­нуй­те при­ме­ни­мость ис­поль­зо­ван­ных за­ко­нов.

Решение

При­ме­ча­ние

Есть важ­ные во­про­сы к это­му сю­же­ту, ко­то­рые я все­гда за­даю уче­ни­кам. За­труд­не­ния за­ча­стую ис­пы­ты­ва­ют даже те, кто уве­рен­но пи­шет пра­виль­ные урав­не­ния.

  1. Куда на­прав­ле­но уско­ре­ние тела в мо­мент от­ры­ва? Боль­шин­ство спер­ва от­ве­ча­ют, что уско­ре­ние на­прав­ле­но в центр по­лу­сфе­ры. Но это не так — на тело дей­ству­ет един­ствен­ная сила так что уско­ре­ние, оче­вид­но, рав­но и на­прав­ле­но вер­ти­каль­но вниз. По­че­му же то­гда мы ось на­прав­ля­ем в центр по­лу­сфе­ры? По­то­му что мы зна­ем про­ек­цию пол­но­го уско­ре­ния на эту ось. Уско­ре­ние по тан­ген­ци­аль­ной оси, от­вет­ствен­ное за уве­ли­че­ние мо­ду­ля ско­ро­сти, обу­слов­ле­но про­ек­ци­ей и в дан­ной за­да­че нас не ин­те­ре­су­ет.

  2. На­зо­ви­те усло­вие от­ры­ва. Здесь все твер­дят про Но это­го мало — как по­ка­зать, что от­рыв толь­ко что про­изо­шел, а не пол­ча­са на­зад? Дело в том, что нор­маль­ное уско­ре­ние рав­но толь­ко в мо­мент от­ры­ва. В сле­ду­ю­щий мо­мент цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние бу­дет обу­слов­ле­но дру­гой ско­ро­стью, да и тра­ек­то­рия (па­ра­бо­ла) бу­дет иметь иной ра­ди­ус кри­виз­ны.

  3. До­ка­жи­те, что тело боль­ше не кос­нет­ся по­лу­сфе­ры.

  4. Если по­лу­сфе­ра мо­жет сколь­зить без тре­ния по го­ри­зон­та­ли, за­да­ча ста­но­вит­ся зна­чи­тель­но ин­те­рес­нее и слож­нее: #312.

Ответ