Задача #312 ← →

При­ме­ча­ние

Ши­ро­ко из­вест­на ана­ло­гич­ная за­да­ча с за­креп­лен­ной по­лу­сфе­рой (см. #51). Мне при­шла в го­ло­ву идея, что в слу­чае по­движ­ной по­лу­сфе­ры за­да­ча ста­но­вит­ся куда ин­те­рес­нее. Бег­лый по­иск в ин­тер­не­те к мо­е­му удив­ле­нию ни­че­го не дал — идея-то на по­верх­но­сти! Я хо­тел сна­ча­ла ис­кать вы­со­ту от­ры­ва, как и в за­да­че #51, но ока­за­лось, что по­лу­ча­ет­ся ку­би­че­ское урав­не­ние и для и для

«То­гда кра­си­во бу­дет за­дать от­но­ше­ние и по­про­сить най­ти от­но­ше­ние масс», — по­ду­мал я. Уже ре­шив за­да­чу в та­ком виде, я все-таки смог ее на­гуглить: на­при­мер, она да­ва­лась де­ся­ти­класс­ни­кам на олим­пи­а­де «Кур­ча­тов» в 2019 году, толь­ко за­дан был угол: По­хо­же, я про­шел по той же це­поч­ке раз­мыш­ле­ний, что и со­ста­ви­те­ли этой за­да­чи. Чи­сло­вое зна­че­ние ко­си­ну­са со­от­вет­ству­ет вы­со­те от­ры­ва Весь­ма ха­рак­тер­но, по­сколь­ку ин­те­рес­но срав­нить это с (от­вет при не­по­движ­ной по­лу­сфе­ре).

Во­об­ще эта ис­то­рия по­ка­зы­ва­ет, что до­воль­но слож­но при­ду­мать прин­ци­пи­аль­но но­вую за­да­чу (не ком­би­на­цию из­вест­ных идей), осо­бен­но по ме­ха­ни­ке. Уве­рен, что боль­шин­ству за­дач, на ко­то­рых учат­ся юные фи­зи­ки, пару со­тен лет.

Край­ние слу­чаи

1) При по­лу­ча­ет­ся что ожи­да­е­мо: если по­лу­сфе­ра очень тя­же­ла, то она прак­ти­че­ски не дви­га­ет­ся и вы­со­та от­ры­ва бу­дет та­кой же, как и в за­да­че #51.

2) При по­лу­ча­ет­ся, что

Во­об­ще го­во­ря, это сво­дит­ся к ку­би­че­ско­му урав­не­нию от­но­си­тель­но с тре­мя кор­ня­ми:

Не­труд­но уга­дать ожи­да­е­мый ко­рень то есть тело от­ры­ва­ет­ся сра­зу на а по­лу­сфе­ра вы­скаль­зы­ва­ет мгно­вен­но. Остав­ши­е­ся кор­ни мож­но уви­деть, пред­ста­вив урав­не­ние в виде

от­ку­да Оба эти кор­ня нам не под­хо­дят, по­сколь­ку вы­со­та долж­на быть по­ло­жи­тель­ной и мень­ше ра­ди­у­са