Задача #540 ← →

По тонкому гладкому непроводящему стержню начинает скользить из состояния покоя заряженная бусинка массой и положительным зарядом Стержень имеет форму дуги окружности с радиусом и расположен в вертикальной плоскости. Начальное положение бусинки находится на высоте относительно нижней точки стержня На этой же высоте над точкой расположен неподвижный положительный заряд Найти силу с которой бусинка действует на стержень в точке Пренебречь эффектами, связанными с появлением поляризационных зарядов.

Решение

Примечание

Самое интересное в задаче — проверка, при каких условиях бусинка вообще окажется в точке Зафиксируем и проанализируем характер движения бусины в зависимости от величины заряда

Расчет граничных значений зарядов

Проверка величины q₁

В качестве проверки величины можно убедиться, что при подстановке

в наше окончательное выражение

получается тот же результат, что и при когда бусинка неподвижно лежит в нижней точке (мгновенная скорость равна нулю, не следует путать с положением равновесия!).

W(y) при q<q₁

Посмотрим на график зависимости потенциальной энергии бусины от высоты при заряде Бусина начинает двигаться в сторону минимума потенциальной энергии; при прохождении точки остается запас набранной кинетической энергии: на графике видно, что потенциальная энергия бусины уменьшилась по сравнению с начальной. Это означает, что появилась кинетическая энергия, так как потери механической энергии отсутствуют.

Для всех графиков приняты значения м, кг.

W(y) при q=q₁

Теперь график для заряда Начальное положение бусины имеет такую же потенциальную энергию, как и в точке Значит, мгновенная скорость бусины обращается в ноль в точке

W(y) при q₁<q<q₂

Выполняется условие Заряд достаточно большой, чтобы точка не достигалась, но недостаточно большой, чтобы бусинка сразу двигалась вверх. Бусинка начинает движение в сторону минимума потенциальной энергии, то есть вниз. Вернувшись на горизонтальную линию бусинка останавливается. Дальше для нее непреодолимый потенциальный барьер.