Задача #811 ← →

В элек­три­че­ской схе­ме, со­сто­я­щей из ка­туш­ки ин­дук­тив­но­стью и че­ты­рех про­во­дя­щих пла­стин, каж­дая пло­ща­дью рас­по­ло­жен­ных на рас­сто­я­нии друг от дру­га, ключ K разо­мкнут (см. ри­су­нок). Пла­сти­на 3 за­ря­же­на за­ря­дом

  1. Най­ти за­ря­ды пла­стин по­сле за­мы­ка­ния клю­ча K в мо­мент, ко­гда ток че­рез ка­туш­ку мак­си­ма­лен.

  2. Най­ти мак­си­маль­ный ток че­рез ка­туш­ку.

Оми­че­ским со­про­тив­ле­ни­ем в схе­ме пре­не­бречь.

Решение

При­ме­ча­ние

  1. Сра­зу по­сле за­мы­ка­ния клю­ча за­ряд рас­пре­де­ля­ет­ся по­по­лам меж­ду 1 и 3 пла­сти­на­ми. Это про­ис­хо­дит очень бы­стро, ток че­рез ка­туш­ку не успе­ва­ет на­чать­ся.

  2. Как толь­ко за­ряд рас­пре­де­лил­ся на два по­тен­ци­а­лы 2 и 4 пла­стин ста­ли раз­лич­ны­ми. На­чи­на­ет­ся те­че­ние за­ря­да (ток че­рез ка­туш­ку), при­зван­ное вы­ров­нять по­тен­ци­а­лы чет­ных пла­стин.

  3. Из-за того, что чет­ные пла­сти­ны на­чи­на­ют со­зда­вать свое поле, за­ряд на пла­сти­нах 1 и 3 тоже на­чи­на­ет пе­ре­рас­пре­де­лять­ся, что­бы обес­пе­чи­вать ра­вен­ство по­тен­ци­а­лов Это ра­вен­ство не­об­хо­ди­мо, по­сколь­ку пла­сти­ны со­еди­не­ны про­вод­ни­ком. По­тен­ци­а­лы не­чет­ных пла­стин рав­ны все вре­мя в от­ли­чие от по­тен­ци­а­лов чет­ных пла­стин, по­сколь­ку ни­что не пре­пят­ству­ет мгно­вен­но­му пе­ре­рас­пре­де­ле­нию за­ря­да меж­ду пла­сти­на­ми 1 и 3 — ин­дук­тив­ность дан­но­го участ­ка пре­не­бре­жи­мо мала.

  4. Пока сила тока че­рез ка­туш­ку на­рас­та­ет. Сила тока че­рез ка­туш­ку до­стиг­нет мак­си­маль­но­го зна­че­ния, ко­гда по­тен­ци­а­лы чет­ных пла­стин срав­ня­ют­ся.

  5. Фор­му­ла для на­пря­жен­но­сти вида от­сут­ству­ет в ко­ди­фи­ка­то­ре ЕГЭ, но на лю­бой олим­пи­а­де ей мож­но поль­зо­вать­ся, если речь идет об од­но­род­ном поле. Стро­го го­во­ря, та­кое поле со­зда­ет толь­ко бес­ко­неч­но боль­шая од­но­род­но за­ря­жен­ная пла­сти­на, но вбли­зи пла­стин ко­неч­ных раз­ме­ров поле мож­но счи­тать од­но­род­ным. Фор­му­ла вы­во­дит­ся из те­о­ре­мы Гаус­са, как и элек­тро­ем­кость плос­ко­го кон­ден­са­то­ра

  6. Фор­му­лу для энер­гии поля че­рез на­пря­жен­ность мож­но ко­ря­во вы­ве­сти из урав­не­ний

    По­лу­ча­ем

  7. При­ме­нять эту фор­му­лу мож­но толь­ко для од­но­род­но­го поля. Поле сна­ру­жи пла­стин не­од­но­род­но (ина­че у него была бы бес­ко­неч­но боль­шая энер­гия, что сле­ду­ет из на­шей фор­му­лы при ). Поле вну­три пла­стин бу­дем счи­тать од­но­род­ным, что яв­ля­ет­ся аде­кват­ным при­бли­же­ни­ем при

    То­гда для за­пи­си ЗСЭ (урав­не­ние 6) по­тре­бу­ет­ся ска­зать, что энер­гия поля рав­на энер­гии поля вну­три пла­стин + энер­гия поля сна­ру­жи Энер­гия поля сна­ру­жи пла­стин опре­де­ля­ет­ся толь­ко об­щим за­ря­дом си­сте­мы и по­то­му оста­ет­ся не­из­мен­ной.

Ответ