Задача #918 ← →

Ав­то­мо­биль с ко­ле­са­ми ра­ди­у­сом дви­жет­ся без про­скаль­зы­ва­ния по го­ри­зон­таль­ной до­ро­ге со ско­ро­стью На ка­кую мак­си­маль­ную вы­со­ту над по­верх­но­стью зем­ли под­ни­ма­ют­ся кап­ли гря­зи, от­ры­ва­ю­щи­е­ся от ко­лес?

Решение

При­ме­ча­ние

По­лу­чив урав­не­ние (3) — за­ви­си­мость вы­со­ты подъ­ема от угла (см. ри­су­нок), мы на­шли экс­тре­мум (мак­си­мум) функ­ции при­рав­няв про­из­вод­ную к нулю.

Во вто­ром спо­со­бе мы пе­ре­пи­шем урав­не­ние (3) в виде квад­рат­но­го урав­не­ния от­но­си­тель­но Если у квад­рат­но­го урав­не­ния ноль кор­ней то вы­со­та не­до­сти­жи­ма. Если два кор­ня то вы­со­та до­сти­га­ет­ся при двух раз­ных углах — зна­чит, это не мак­си­маль­ная вы­со­та.

Нас ин­те­ре­су­ет слу­чай, ко­гда урав­не­ние име­ет един­ствен­ное ре­ше­ние Мак­си­маль­ная вы­со­та до­сти­га­ет­ся при един­ствен­ном зна­че­нии угла. По­дроб­нее ниже:

Ответ