Задача #992 ← →
На невесомой нерастяжимой нити длиной висит груз. Нить прикреплена к горизонтальному гвоздю, вокруг которого может вращаться без трения. Какую минимальную горизонтальную скорость необходимо сообщить грузу, чтобы он совершил полный оборот в вертикальной плоскости?
Решение
Примечание
Условие полного оборота нужно как следует осмыслить.
Понятно, что второй закон Ньютона для верхней точки в общем случае выглядит так: Минимальная скорость очевидно, достигается при (отрицательное натяжение нити невозможно). Значит, и минимальна в этом случае, потому что от нее напрямую зависит скорость в верхней точке.
Но как гарантировать, что полный оборот при условии исчезновения натяжения в верхней точке все-таки произойдет?
Дело в том, что в центростремительном ускорении все еще используется длина нити в качестве радиуса окружности. Иными словами, тело движется по окружности в этой точке и без участия нити. В реальности тело движется в этот момент по параболе, как любое тело под действием постоянной силы тяжести — это фактически бросок под углом к горизонту. Просто радиус кривизны параболы в данной точке оказывается равным длине нити.
У параболы, в вершине которой находится тело в верхней точке, радиус кривизны увеличивается при удалении от вершины (далеко от вершины парабола больше похожа на прямую, чем около вершины, что хорошо видно невооруженным глазом). Значит, тело хотело бы оказаться дальше от точки подвеса, чем длина нити. Но нить этого не позволит, значит, сила натяжения возникнет сразу же после верхней точки. Значит, полный оборот произойдет, нить не провиснет.