Задача #1118 ← →

Ниж­ний ко­нец вер­ти­каль­ной уз­кой труб­ки (в мм) за­па­ян, а верх­ний от­крыт в ат­мо­сфе­ру. В ниж­ней по­ло­ви­не труб­ки на­хо­дит­ся газ при тем­пе­ра­ту­ре а верх­няя ее по­ло­ви­на за­пол­не­на рту­тью. До ка­кой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ры надо на­греть газ в труб­ке, что­бы он вы­тес­нил всю ртуть? Внеш­нее дав­ле­ние в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба рав­но

Решение

При­ме­ча­ние

По­жа­луй, одна из са­мых изящ­ных фор­му­ли­ро­вок клас­си­че­ской за­да­чи про на­хо­жде­ние мак­си­маль­ной тем­пе­ра­ту­ры в ли­ней­ном про­цес­се На гра­фи­ке изоб­ра­жен этот про­цесс. Если пред­ста­вить себе се­мей­ство изо­терм, па­мя­туя о ро­сте тем­пе­ра­ту­ры с «вы­со­той» изо­тер­мы, ста­но­вит­ся ясно, что са­мой вы­со­кой изо­тер­мой бу­дет ка­са­ю­ща­я­ся гра­фи­ка где-то в рай­о­не стре­лоч­ки.

На са­мом деле, мож­но даже без ана­ли­за функ­ции по­нять, что нуж­на имен­но се­ре­ди­на про­цес­са. Наш про­цесс сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы, вы­хо­дя­щей из на­ча­ла ко­ор­ди­нат. Ги­пер­бо­лы тоже сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но этой бис­сек­три­сы. Оче­вид­но, что ка­сать­ся на­ше­го ли­ней­но­го про­цес­са ги­пер­бо­ла долж­на имен­но на этой бис­сек­три­се, то есть при дав­ле­нии и объ­еме

Ин­ту­и­тив­но про­цесс пред­став­ля­ет­ся не­вер­но: буд­то мы гре­ем газ, его тем­пе­ра­ту­ра все вре­мя рас­тет, и он по­ти­хонь­ку вы­тал­ки­ва­ет ртуть. Од­на­ко ока­зы­ва­ет­ся, что мак­си­маль­ная тем­пе­ра­ту­ра у газа бу­дет в се­ре­ди­не про­цес­са. До­бав­ля­ет пи­кант­но­сти за­да­че тот факт, что ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра (ко­гда вся ртуть вы­ли­лась, а дав­ле­ние газа срав­ня­лось с ат­мо­сфер­ным) рав­на на­чаль­ной.

Ответ