Задача #1170 ← →
Между двумя стенками, образующими прямой угол, движется без отрыва стержень длиной Скорость точки постоянна, равна и направлена горизонтально. Определите скорость и ускорение точки расположенной на расстоянии от точки в момент времени, когда угол между горизонтальной стенкой и стержнем составляет
Решение
I способ
Комментарии к первому способу
-
Для отыскания угловой и линейной скорости стержня надо привязаться к мгновенной оси вращения. Далее по теореме косинусов находим расстояние OM и линейную скорость точки M.
-
Для поиска ускорения отметим, что ускорение точки A направлено вертикально вниз, поскольку она и движется все время вертикально вниз. Разложим ускорение точки A на нормальную и тангенциальную компоненту. В ИСО, связанной с точкой B, нормальная компонента направлена вдоль стержня, а тангенциальная — перпендикулярно ему. Направление этих компонент ускорения для точки M будет таким же (вдоль стержня и перпендикулярно ему). При этом и центростремительная компонента пропорциональна расстоянию до оси вращения, и тангенциальная:
где — угловое ускорение, одинаковое для всех точек стержня. Значит, полное ускорение любой точки стержня направлено вертикально вниз. А треугольники ускорений для точек A и M подобны с коэффициентом
II способ
Если не удалось сообразить, что угловую скорость легче всего искать через мгновенную ось вращения (проходит через точку O в первом способе), можно связать СО сначала с одним концом стержня, а потом с другим. Ускорение для разнообразия тоже найдем другим способом: явно посчитав нормальную и тангенциальную компоненты ускорения. Придется воспользоваться производными.
Комментарии ко второму способу
В пункте (1) пользуемся нерастяжимостью стержня: проекции скорости любой точки на стержень должны быть одинаковы.
В пунктах (2,3) переходим в систему отсчета, связанную с концом стержня. В такой системе отсчета скорость точки должна быть перпендикулярна стержню. Пользуемся тем, что угловая скорость вращения в любой невращающейся системе отсчета одна и та же.
В пункте (4) находим и — компоненту скорости точки перпендикулярную стержню в лабораторной СО.
В пункте (5) находим скорость по теореме Пифагора.
В пункте (6) находим полное ускорение точки также по теореме Пифагора. Центростремительная компонента посчитана относительно точки Но поскольку точка движется равномерно, с ней можно связать ИСО. А центростремительная компонента ускорения будет одинаковой относительно любой ИСО, в том числе относительно Земли.
Тангенциальную компоненту ускорения считаем тоже в СО, связанной с точкой B. Тангенциальная компонента ускорения показывает быстроту изменения скорости. Таким образом, надо взять производную Надо рассчитать быстроту изменения скорости точки именно в СО, связанной с точкой B. Знак минус в соотношении свидетельствует о том, что угол уменьшается со временем.
Примечание
Почти во всех ответах, что я видел, ускорения точки стоит ее значение только для центростремительной компоненты
Мы это выражение получили во втором способе. Его надо поделить на чтобы получить полное ускорение (см. второй рисунок из решения вторым способом).