Задача #305 ← →

При­ме­ча­ние

Та­ких за­да­ний на ЕГЭ не бы­ва­ет. Здесь я ре­шил по­экс­пе­ри­мен­ти­ро­вать над фор­ма­том и при­ду­мать по­силь­ное для школь­ни­ков за­да­ние.

В та­ком за­да­нии нуж­но со­ста­вить ди­фур или ин­те­грал, ре­шать ко­то­рые не тре­бу­ет­ся. По­лу­чить ре­ше­ние, что на­зы­ва­ет­ся, в квад­ра­ту­рах. Это очень по­лез­ный на­вык для без­бо­лез­нен­но­го тран­зи­та меж­ду школь­ны­ми и уни­вер­си­тет­ски­ми за­да­ча­ми. Ина­че по­сту­пив­ший по ЕГЭ на физ­тех сто­балль­ник со­вер­шен­но те­ря­ет­ся в пер­вом се­ме­стре, не на­хо­дя ни­ка­ко­го сход­ства в ал­го­рит­ме ре­ше­ния школь­ных и уни­вер­си­тет­ских за­дач.

При­ве­дем ре­ше­ние по­лу­чен­ных урав­не­ний. Один­на­дца­ти­класс­ник из шко­лы с углуб­лен­ным изу­че­ни­ем ма­те­ма­ти­ки при не­ко­то­рых уси­ли­ях мо­жет пол­но­стью разо­брать­ся в при­ве­ден­ном ре­ше­нии, за­пи­са­но мак­си­маль­но по­дроб­но. До­ста­точ­но уметь за­ме­нять пе­ре­мен­ную ин­те­гри­ро­ва­ния, знать фор­му­лу для про­из­вод­ной про­из­ве­де­ния: и фор­му­лу для ин­те­гри­ро­ва­ния по ча­стям:

Ана­лиз ре­ше­ний¹

Мы по­лу­чи­ли вы­ра­же­ния для и

Как их про­ве­рить, не ис­сле­дуя ре­ше­ние шаг за ша­гом?

• Ма­те­ма­тик про­диф­фе­рен­ци­ру­ет ре­ше­ния два раза и под­ста­вит в ис­ход­ные урав­не­ния. Если по­лу­чит­ся вер­ное ра­вен­ство, то ре­ше­но пра­виль­но.

• Но вдруг ис­ход­ные урав­не­ния за­пи­са­ны не­вер­но и не со­от­вет­ству­ют фи­зи­че­ской дей­стви­тель­но­сти (вер­нее, на­шей мо­де­ли)? Бы­стрее все­го по­смот­реть на раз­мер­ность. На­при­мер, сте­пень экс­по­нен­ты не мо­жет быть раз­мер­ной, а во­об­ще спра­ва долж­ны по­лу­чать­ся мет­ры.

• Фи­зик по­сле про­вер­ки раз­мер­но­сти ис­сле­ду­ет край­ние слу­чаи. Оче­вид­но, при со­про­тив­ле­ния нет, то­гда дол­жен обра­тить­ся в до боли зна­ко­мое а — в не ме­нее зна­ко­мое

• Вто­рой край­ний слу­чай: тело дви­га­лось до­ста­точ­но дол­го, то­гда его го­ри­зон­таль­ная ком­по­нен­та ско­ро­сти об­ра­ща­ет­ся в нуль. При­ки­нем при­мер­ный вид со­от­вет­ству­ю­щей за­ви­си­мо­сти за­мед­ля­ю­щий­ся рост вы­хо­дит на кон­стан­ту (за­ту­ха­ю­щая экс­по­нен­та).

• Раз так, с ка­ко­го-то мо­мен­та тело па­да­ет вер­ти­каль­но вниз. Но ско­рость его па­де­ния не мо­жет рас­ти бес­ко­неч­но: сила со­про­тив­ле­ния не­ми­ну­е­мо срав­ня­ет­ся с си­лой тя­же­сти, и то­гда дви­же­ние ста­нет рав­но­мер­ным. То есть сна­ча­ла по­хо­жая на па­ра­бо­лу вет­вя­ми вниз функ­ция пе­ре­хо­дит в убы­ва­ю­щую пря­мую при боль­ших

Про­ана­ли­зи­ро­вать по­след­ние три пунк­та мож­но как ана­ли­ти­че­ски, вы­чис­лив пре­де­лы, так и гра­фи­че­ски. По­след­нее я и пред­ла­гаю сде­лать при по­мо­щи ани­ми­ро­ван­ных кар­ти­нок.

Ани­ми­ро­ван­ные гра­фи­ки

x(t)

Гра­фик Ва­рьи­ру­ем Про­вер­ки прой­де­ны (сов­па­де­ние кри­вых при вы­ход на кон­стан­ту при боль­ших ). Код графика (Python).

y(t)

Гра­фик Ва­рьи­ру­ем Про­вер­ки прой­де­ны (сов­па­де­ние кри­вых при вы­ход на ли­ней­ный спад при боль­ших при сни­же­нии тела). Код графика (Python).

y(x)

По­стро­им урав­не­ние тра­ек­то­рии Ва­рьи­ру­ем При по­лу­ча­ет­ся на­сто­я­щая па­ра­бо­ла. Хо­ро­шо вид­но, что по­след­ний уча­сток тра­ек­то­рии ста­но­вит­ся все от­вес­нее с уве­ли­че­ни­ем со­про­тив­ле­ния. Так­же тело успе­ва­ет мень­ше про­ле­теть и по го­ри­зон­та­ли, и по вер­ти­ка­ли (обе кри­вые по­стро­е­ны для дви­же­ния в те­че­ние 5 се­кунд). Код графика (Python).

Вре­мя и даль­ность по­ле­та

Ин­те­рес­но хотя бы чис­лен­но ис­сле­до­вать что-ни­будь про даль­ность по­ле­та. Я ре­шил ис­сле­до­вать во­прос о мак­си­маль­ной даль­но­сти по­ле­та — при ка­ком угле она до­сти­га­ет­ся? Хо­ро­шо из­вест­но, что без со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха этот угол со­став­ля­ет По­про­буй­те пред­ска­зать и ка­че­ствен­но об­ос­но­вать, ка­ким об­ра­зом со­от­вет­ству­ю­щий мак­си­маль­ной даль­но­сти по­ле­та угол бу­дет ме­нять­ся с уве­ли­че­ни­ем ко­эф­фи­ци­ен­та Ани­ма­ция ниже по­ка­зы­ва­ет урав­не­ние тра­ек­то­рии для фик­си­ро­ван­но­го зна­че­ния При за­дан­ных на­чаль­ных усло­ви­ях мак­си­маль­ная даль­ность по­ле­та до­сти­га­ет­ся при угле При уве­ли­че­нии угол бу­дет еще мень­ше. Код графика (Python). Ани­ма­ция для тех, кто ни­ку­да не спе­шит.