Задача #1170 ← →

I спо­соб

Ком­мен­та­рии к пер­во­му спо­со­бу

1. Для отыс­ка­ния уг­ло­вой и ли­ней­ной ско­ро­сти стерж­ня надо при­вя­зать­ся к мгно­вен­ной оси вра­ще­ния. Да­лее по те­о­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим рас­сто­я­ние OM и ли­ней­ную ско­рость точ­ки M.

2. Для по­ис­ка уско­ре­ния от­ме­тим, что уско­ре­ние точ­ки A на­прав­ле­но вер­ти­каль­но вниз, по­сколь­ку она и дви­жет­ся все вре­мя вер­ти­каль­но вниз. Раз­ло­жим уско­ре­ние точ­ки A на нор­маль­ную и тан­ген­ци­аль­ную ком­по­нен­ту. В ИСО, свя­зан­ной с точ­кой B, нор­маль­ная ком­по­нен­та на­прав­ле­на вдоль стерж­ня, а тан­ген­ци­аль­ная — пер­пен­ди­ку­ляр­но ему. На­прав­ле­ние этих ком­по­нент уско­ре­ния для точ­ки M бу­дет та­ким же (вдоль стерж­ня и пер­пен­ди­ку­ляр­но ему). При этом и цен­тро­стре­ми­тель­ная ком­по­нен­та про­пор­ци­о­наль­на рас­сто­я­нию до оси вра­ще­ния, и тан­ген­ци­аль­ная:

   где — уг­ло­вое уско­ре­ние, оди­на­ко­вое для всех то­чек стерж­ня. Зна­чит, пол­ное уско­ре­ние лю­бой точ­ки стерж­ня на­прав­ле­но вер­ти­каль­но вниз. А тре­уголь­ни­ки уско­ре­ний для то­чек A и M по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том

II спо­соб

Если не уда­лось со­об­ра­зить, что уг­ло­вую ско­рость лег­че все­го ис­кать че­рез мгно­вен­ную ось вра­ще­ния (про­хо­дит че­рез точ­ку O в пер­вом спо­со­бе), мож­но свя­зать СО сна­ча­ла с од­ним кон­цом стерж­ня, а по­том с дру­гим. Уско­ре­ние для раз­но­об­ра­зия тоже най­дем дру­гим спо­со­бом: явно по­счи­тав нор­маль­ную и тан­ген­ци­аль­ную ком­по­нен­ты уско­ре­ния. При­дет­ся вос­поль­зо­вать­ся про­из­вод­ны­ми.

Ком­мен­та­рии ко вто­ро­му спо­со­бу

В пунк­те (1) поль­зу­ем­ся не­рас­тя­жи­мо­стью стерж­ня: про­ек­ции ско­ро­сти лю­бой точ­ки на стер­жень долж­ны быть оди­на­ко­вы.

В пунк­тах (2,3) пе­ре­хо­дим в си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с кон­цом стерж­ня. В та­кой си­сте­ме от­сче­та ско­рость точ­ки долж­на быть пер­пен­ди­ку­ляр­на стерж­ню. Поль­зу­ем­ся тем, что уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния в лю­бой невра­ща­ю­щей­ся си­сте­ме от­сче­та одна и та же.

В пунк­те (4) на­хо­дим и — ком­по­нен­ту ско­ро­сти точ­ки пер­пен­ди­ку­ляр­ную стерж­ню в ла­бо­ра­тор­ной СО.

В пунк­те (5) на­хо­дим ско­рость по те­о­ре­ме Пи­фа­го­ра.

В пунк­те (6) на­хо­дим пол­ное уско­ре­ние точ­ки так­же по те­о­ре­ме Пи­фа­го­ра. Цен­тро­стре­ми­тель­ная ком­по­нен­та по­счи­та­на от­но­си­тель­но точ­ки Но по­сколь­ку точ­ка дви­жет­ся рав­но­мер­но, с ней мож­но свя­зать ИСО. А цен­тро­стре­ми­тель­ная ком­по­нен­та уско­ре­ния бу­дет оди­на­ко­вой от­но­си­тель­но лю­бой ИСО, в том чис­ле от­но­си­тель­но Зем­ли.

Тан­ген­ци­аль­ную ком­по­нен­ту уско­ре­ния счи­та­ем тоже в СО, свя­зан­ной с точ­кой B. Тан­ген­ци­аль­ная ком­по­нен­та уско­ре­ния по­ка­зы­ва­ет бы­стро­ту из­ме­не­ния ско­ро­сти. Та­ким об­ра­зом, надо взять про­из­вод­ную Надо рас­счи­тать бы­стро­ту из­ме­не­ния ско­ро­сти точ­ки имен­но в СО, свя­зан­ной с точ­кой B. Знак ми­нус в со­от­но­ше­нии сви­де­тель­ству­ет о том, что угол умень­ша­ет­ся со вре­ме­нем.

При­ме­ча­ние

По­чти во всех от­ве­тах, что я ви­дел, уско­ре­ния точ­ки сто­ит ее зна­че­ние толь­ко для цен­тро­стре­ми­тель­ной ком­по­нен­ты

Мы это вы­ра­же­ние по­лу­чи­ли во вто­ром спо­со­бе. Его надо по­де­лить на что­бы по­лу­чить пол­ное уско­ре­ние (см. вто­рой ри­су­нок из ре­ше­ния пер­вым спо­со­бом).