Тип 26

Ма­те­ма­ти­че­ский ма­ят­ник, со­сто­я­щий из гру­за мас­сой под­ве­шен­но­го на нити дли­ной от­кло­ни­ли до го­ри­зон­таль­но­го по­ло­же­ния нити и от­пу­сти­ли. В мо­мент про­хо­жде­ния ниж­ней точ­ки тра­ек­то­рии ша­рик стал­ки­ва­ет­ся с вер­ти­каль­ной сте­ной, при­чем мо­дуль ско­ро­сти при каж­дом уда­ре умень­ша­ет­ся в раз. Ка­кое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство со­уда­ре­ний ша­ри­ка со сте­ной долж­но про­изой­ти, что­бы мак­си­маль­ный угол от­кло­не­ния нити от вер­ти­ка­ли был мень­ше 60°?

Не­боль­шое тело пу­сти­ли вверх по на­клон­ной плос­ко­сти, со­став­ля­ю­щей угол с го­ри­зон­том. Най­ти ко­эф­фи­ци­ент тре­ния если вре­мя подъ­ема тела ока­за­лось в раза мень­ше вре­ме­ни спус­ка.

На глад­ком го­ри­зон­таль­ном сто­ле по­ко­ит­ся «гор­ка», угол на­кло­на ко­то­рой плав­но из­ме­ня­ет­ся от не­ко­то­ро­го зна­че­ния до нуля. С вер­ши­ны «гор­ки» со­скаль­зы­ва­ет без тре­ния не­боль­шое тело мас­сой Ка­ко­ва бу­дет ско­рость тела по­сле со­скаль­зы­ва­ния, если вы­со­та «гор­ки» а мас­са Тре­ни­ем меж­ду гор­кой и сто­лом пре­не­бречь.

На пути тела, сколь­зя­ще­го по глад­ко­му го­ри­зон­таль­но­му сто­лу, на­хо­дит­ся не­за­креп­лен­ная «гор­ка» вы­со­той При ка­кой ми­ни­маль­ной ско­ро­сти тело смо­жет пре­одо­леть гор­ку? Тело дви­жет­ся не от­ры­ва­ясь от гор­ки. Тре­ния нет. Мас­са гор­ки мас­са тела

Два оди­на­ко­вых гру­за мас­сой свя­за­ны меж­ду со­бой ни­тью, пе­ре­ки­ну­той че­рез блок с не­по­движ­ной осью. На один из гру­зов кла­дут пе­ре­гру­зок мас­сой С ка­кой си­лой бу­дет да­вить пе­ре­гру­зок на груз Мас­сой бло­ка и нити, а так­же тре­ни­ем в оси бло­ка пре­не­бречь, нить счи­тать не­рас­тя­жи­мой. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять

Ав­то­мо­биль с ко­ле­са­ми ра­ди­у­сом дви­жет­ся без про­скаль­зы­ва­ния по го­ри­зон­таль­ной до­ро­ге со ско­ро­стью На ка­кую мак­си­маль­ную вы­со­ту над по­верх­но­стью зем­ли под­ни­ма­ют­ся кап­ли гря­зи, от­ры­ва­ю­щи­е­ся от ко­лес?

Тело мас­сой вра­ща­ет­ся в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти на нити дли­ной Ось вра­ще­ния рас­по­ло­же­на над по­лом на вы­со­те При про­хо­жде­нии ниж­не­го по­ло­же­ния нить об­ры­ва­ет­ся и тело па­да­ет на пол на рас­сто­я­нии по го­ри­зон­та­ли от точ­ки об­ры­ва. Опре­де­лить силу на­тя­же­ния нити в мо­мент ее об­ры­ва.

На глад­кое про­во­лоч­ное коль­цо ра­ди­у­са рас­по­ло­жен­ное вер­ти­каль­но, на­де­та ма­лень­кая бу­син­ка. Коль­цо вра­ща­ет­ся с уг­ло­вой ско­ро­стью во­круг вер­ти­каль­ной оси, про­хо­дя­щей по диа­мет­ру коль­ца. Где на­хо­дит­ся бу­син­ка?

Груз мас­сой при­вя­зан­ный к не­рас­тя­жи­мой нити, вра­ща­ет­ся в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти. Най­ти раз­ность сил на­тя­же­ния нити в ниж­ней и верх­ней точ­ках тра­ек­то­рии.

К телу мас­сой при­ло­же­на сила под дей­стви­ем ко­то­рой тело дви­жет­ся по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти рав­но­мер­но. Опре­де­ли­те угол ко­то­рый со­став­ля­ет с вер­ти­ка­лью рав­но­дей­ству­ю­щая сил, дей­ству­ю­щих на тело со сто­ро­ны по­верх­но­сти, если сила со­став­ля­ет с го­ри­зон­та­лью угол Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния

Ав­то­мо­биль тро­га­ет­ся с ме­ста с уско­ре­ни­ем При ско­ро­сти уско­ре­ние ав­то­мо­би­ля ста­ло рав­ным С ка­кой уста­но­вив­шей­ся ско­ро­стью бу­дет дви­гать­ся ав­то­мо­биль, если сила со­про­тив­ле­ния про­пор­ци­о­наль­на ско­ро­сти? Силу тяги дви­га­те­ля при дви­же­нии ав­то­мо­би­ля счи­тать по­сто­ян­ной.

Шар мас­сой под­ве­шен­ный на нити дли­ной от­во­дят от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия на угол 60° и от­пус­ка­ют. В мо­мент про­хо­жде­ния шара че­рез по­ло­же­ние рав­но­ве­сия в него по­па­да­ет пуля, ле­тя­щая на­встре­чу шару, ко­то­рая про­би­ва­ет его и про­дол­жа­ет дви­гать­ся го­ри­зон­таль­но (см. ри­су­нок). Опре­де­ли­те мо­дуль из­ме­не­ния им­пуль­са пули в ре­зуль­та­те по­па­да­ния в шар, если он, про­дол­жая дви­же­ние в преж­нем на­прав­ле­нии, от­кло­ня­ет­ся на угол 39°. Мас­су шара счи­тать не­из­мен­ной; диа­метр шара — пре­не­бре­жи­мо ма­лым по срав­не­нию с дли­ной нити; Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Шар мас­сой сво­бод­но па­да­ет с вы­со­ты без на­чаль­ной ско­ро­сти. На вы­со­те в шар по­па­да­ет и за­стре­ва­ет в нем го­ри­зон­таль­но ле­тев­шая пуля мас­сой Най­ди­те на­чаль­ную ско­рость пули, если ско­рость шара с за­стряв­шей в нем пу­лей пе­ред со­уда­ре­ни­ем с по­лом Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Ма­лень­кий ша­рик мас­сой под­ве­шен на лег­кой не­рас­тя­жи­мой нити дли­ной ко­то­рая раз­ры­ва­ет­ся при не­ко­то­рой силе на­тя­же­ния Ша­рик от­ве­ден от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия (оно по­ка­за­но на ри­сун­ке пунк­ти­ром) и от­пу­щен. Ко­гда ша­рик про­хо­дит по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, нить об­ры­ва­ет­ся, и ша­рик тут же аб­со­лют­но не­упру­го стал­ки­ва­ет­ся с брус­ком мас­сой ле­жа­щим не­по­движ­но на глад­кой го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти сто­ла. Ско­рость брус­ка по­сле уда­ра Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну силы Счи­тать, что бру­сок по­сле уда­ра дви­жет­ся по­сту­па­тель­но.

Ша­рик сколь­зит без тре­ния по на­клон­но­му же­ло­бу, а за­тем дви­жет­ся по «мерт­вой пет­ле» ра­ди­у­са С ка­кой си­лой да­вит ша­рик на же­лоб в ниж­ней точ­ке пет­ли, если мас­са ша­ри­ка а вы­со­та, с ко­то­рой его от­пус­ка­ют, рав­на счи­тая от ниж­ней точ­ки пет­ли?

Глад­кий стер­жень изо­гнут в го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти в виде окруж­но­сти. Две муф­точ­ки мас­са­ми и со­от­вет­ствен­но дви­жут­ся по нему на­встре­чу друг дру­гу с по­сто­ян­ны­ми нор­маль­ны­ми уско­ре­ни­я­ми Най­ти нор­маль­ное уско­ре­ние муф­то­чек по­сле их аб­со­лют­но не­упру­го­го столк­но­ве­ния.

Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Меж­ду дву­мя не­под­виж­ны­ми муф­та­ми мо­жет без тре­ния пе­ре­ме­щать­ся вниз и вверх стер­жень, мас­са ко­то­ро­го Стер­жень ниж­ним кон­цом ка­са­ет­ся глад­кой по­верх­но­сти кли­на мас­сой Клин ле­жит на глад­ком го­ри­зон­таль­ном сто­ле. Опре­де­лить уско­ре­ния кли­на и стерж­ня.

В ци­лин­дри­че­ском ста­ка­не с во­дой на нити ви­сит про­во­ло­ка, вмо­ро­жен­ная в ку­сок льда. Лед с про­во­ло­кой це­ли­ком по­гру­жен в воду и не ка­са­ет­ся сте­нок и дна ста­ка­на (см. ри­су­нок). По­сле того как лед рас­та­ял, про­во­ло­ка оста­лась ви­сеть на нити, це­ли­ком по­гру­жен­ная в воду. Уро­вень воды в ста­ка­не за вре­мя та­я­ния льда умень­шил­ся на а сила на­тя­же­ния нити уве­ли­чи­лась в раз. Най­ти объ­ем про­во­ло­ки. Плот­ность воды про­во­ло­ки — пло­щадь вну­трен­не­го се­че­ния ста­ка­на

При­креп­лен­ный к вер­ти­каль­ной пру­жи­не груз мед­лен­но опус­ка­ют до по­ло­же­ния рав­но­ве­сия, при­чем пру­жи­на рас­тя­ги­ва­ет­ся на дли­ну На сколь­ко рас­тя­нет­ся пру­жи­на, если тому же гру­зу предо­ста­вить воз­мож­ность па­дать сво­бод­но с та­ко­го по­ло­же­ния, при ко­то­ром пру­жи­на не рас­тя­ну­та? Ка­кой мак­си­маль­ной ско­ро­сти до­стиг­нет при этом груз? Мас­сой пру­жи­ны пре­не­бречь.

При ка­ком зна­че­нии уско­ре­ния груз, ле­жа­щий на по­верх­но­сти кли­на с уг­лом на­кло­на на­чнет под­ни­мать­ся по нему? Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду гру­зом и кли­ном

Сан­ки мож­но удер­жать на гор­ке с уг­лом на­кло­на ми­ни­маль­ной си­лой на­прав­лен­ной вдоль гор­ки. Предо­став­лен­ные са­мим себе, они ска­ты­ва­ют­ся с уско­ре­ни­ем Ка­кую ми­ни­маль­ную силу на­прав­лен­ную вдоль гор­ки, нуж­но при­ло­жить к сан­кам, что­бы тя­нуть их в гор­ку с по­сто­ян­ной ско­ро­стью? Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять

Тон­кая од­но­род­ная па­лоч­ка опи­ра­ет­ся од­ним кон­цом о вер­ши­ну остро­го кам­ня, вы­сту­па­ю­ще­го из воды. Дру­гой ко­нец па­лоч­ки на­хо­дит­ся на пла­ву, при­чем по­гру­жен­ная в воду часть па­лоч­ки в раз мень­ше всей ее дли­ны. Плот­ность воды Най­ти плот­ность ма­те­ри­а­ла, из ко­то­ро­го сде­ла­на па­лоч­ка.

Гра­на­та мас­сой разо­рва­лась на вы­со­те над зем­лей на два оскол­ка. Не­по­сред­ствен­но пе­ред раз­ры­вом ско­рость гра­на­ты была на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но и по мо­ду­лю рав­на Один из оскол­ков мас­сой по­ле­тел вер­ти­каль­но вниз и упал на зем­лю под ме­стом раз­ры­ва со ско­ро­стью Чему ра­вен мо­дуль ско­ро­сти вто­ро­го оскол­ка сра­зу по­сле раз­ры­ва?

Гра­на­та раз­ры­ва­ет­ся в наи­выс­шей точ­ке тра­ек­то­рии на два оди­на­ко­вых оскол­ка. Один из оскол­ков ле­тит в обрат­ном на­прав­ле­нии с той же по мо­ду­лю ско­ро­стью, ко­то­рую име­ла гра­на­та до раз­ры­ва. На ка­ком рас­сто­я­нии от ме­ста бро­са­ния гра­на­ты упа­дет на зем­лю вто­рой оско­лок, если рас­сто­я­ние по го­ри­зон­та­ли от ме­ста бро­са­ния до точ­ки, над ко­то­рой про­изо­шел раз­рыв гра­на­ты, со­став­ля­ет Гра­на­та бро­ше­на от по­верх­но­сти зем­ли. Со­про­тив­ле­ние воз­ду­ха не учи­ты­вать.

На пря­мо­ли­ней­ном го­ри­зон­таль­ном участ­ке пути сто­ят оди­на­ко­вых ва­го­нов. Про­ме­жут­ки меж­ду со­сед­ни­ми ва­го­на­ми оди­на­ко­вы и рав­ны К край­не­му ва­го­ну под­ка­ты­ва­ет­ся еще один та­кой же ва­гон, име­ю­щий ско­рость В ре­зуль­та­те по­сле­до­ва­тель­ных столк­но­ве­ний, в каж­дом из ко­то­рых стал­ки­ва­ю­щи­е­ся ва­го­ны сцеп­ля­ют­ся вме­сте, все ва­го­нов со­еди­ня­ют­ся в один со­став. Най­ти вре­мя меж­ду пер­вым и по­след­ним столк­но­ве­ни­я­ми. Си­ла­ми со­про­тив­ле­ния дви­же­нию ва­го­нов пре­не­бречь.

Ка­ко­ва долж­на быть наи­мень­шая ско­рость мо­то­цик­ла, для того что­бы он мог ехать по вну­трен­ней по­верх­но­сти кру­го­во­го ци­лин­дра ра­ди­у­сом по го­ри­зон­таль­ной окруж­но­сти? Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния сколь­же­ния меж­ду ши­на­ми мо­то­цик­ла и по­верх­но­стью ци­лин­дра ра­вен

Тя­же­лый ша­рик, под­ве­шен­ный на нити опи­сы­ва­ет окруж­ность в го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти (ко­ни­че­ский ма­ят­ник). Най­ти пе­ри­од об­ра­ще­ния ша­ри­ка, если ма­ят­ник на­хо­дит­ся в лиф­те, дви­жу­щем­ся вниз с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Нить со­став­ля­ет с вер­ти­ка­лью угол

Бру­сок мас­сой ле­жит на глад­кой го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, по ко­то­рой он мо­жет дви­гать­ся без тре­ния. На брус­ке ле­жит тело мас­сой Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду те­лом и брус­ком ра­вен При ка­ком зна­че­нии силы при­ло­жен­ной к брус­ку в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии, тело на­чнет сколь­зить по брус­ку? Че­рез сколь­ко вре­ме­ни тело упа­дет с брус­ка? Дли­на брус­ка рав­на

Тело мас­сой дви­жу­ще­е­ся со ско­ро­стью на­ле­та­ет на не­по­движ­ное тело и по­сле упру­го­го со­уда­ре­ния от­ска­ки­ва­ет от него под уг­лом к пер­во­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию сво­е­го дви­же­ния со ско­ро­стью Опре­де­лить мас­су не­по­движ­но­го тела.

Спут­ник дви­жет­ся по кру­го­вой ор­би­те, ра­ди­ус ко­то­рой со­став­ля­ет ра­ди­у­сов пла­не­ты. Ка­ко­ва плот­ность ве­ще­ства пла­не­ты если пе­ри­од об­ра­ще­ния спут­ни­ка Пла­не­ту счи­тать од­но­род­ным ша­ром. Гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная

Вес тела на эк­ва­то­ре со­став­ля­ет от веса это­го же тела на по­лю­се. Най­ти пе­ри­од вра­ще­ния пла­не­ты во­круг сво­ей оси если плот­ность ве­ще­ства пла­не­ты гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная кг⁻¹ с⁻². Пла­не­ту счи­тать од­но­род­ным ша­ром.

Из­вест­но, что сила тя­же­сти, дей­ству­ю­щая на тело на вы­со­те над по­верх­но­стью пла­не­ты на по­лю­се, рав­на весу это­го же тела на по­верх­но­сти пла­не­ты на эк­ва­то­ре. Най­ти пе­ри­од вра­ще­ния пла­не­ты во­круг оси, если ра­ди­ус пла­не­ты а уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния у по­верх­но­сти на по­лю­се Пла­не­ту счи­тать од­но­род­ным ша­ром.

Ма­лень­кое тело со­скаль­зы­ва­ет без на­чаль­ной ско­ро­сти по вну­трен­ней по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры с вы­со­ты, рав­ной ее ра­ди­у­су. Одна по­ло­ви­на по­лу­сфе­ры аб­со­лют­но глад­кая, а дру­гая — ше­ро­хо­ва­тая, при­чем на этой по­ло­ви­не ко­эф­фи­ци­ент тре­ния меж­ду те­лом и по­верх­но­стью Опре­де­лить уско­ре­ние тела в тот мо­мент, ко­гда оно толь­ко пе­рей­дет на ше­ро­хо­ва­тую по­верх­ность. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния при­нять

В глад­кий вы­со­кий ста­кан ра­ди­у­сом по­ста­ви­ли па­лоч­ку дли­ной и мас­сой В ста­кан на­ли­ли жид­ко­сти вы­со­той плот­ность ко­то­рой со­став­ля­ет 0,75 от плот­но­сти ма­те­ри­а­ла па­лоч­ки. Най­ти силу, с ко­то­рой верх­ний ко­нец па­лоч­ки да­вит на стен­ку ста­ка­на.

Груз урав­но­ве­шен на чаш­ке пру­жин­ных ве­сов, при этом в пру­жи­не за­па­се­на по­тен­ци­аль­ная энер­гия де­фор­ма­ции На чаш­ку ве­сов по­ста­ви­ли до­пол­ни­тель­ную гирю, так что мас­са но­во­го гру­за ста­ла в три раза боль­ше пер­во­на­чаль­ной.

1) Во сколь­ко раз ве­ли­чи­на мак­си­маль­но­го уско­ре­ния во вре­мя воз­ник­ших ко­ле­ба­ний от­ли­ча­ет­ся от уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния

2) С ка­ким по ве­ли­чи­не уско­ре­ни­ем дви­жет­ся груз в мо­мент, ко­гда его ки­не­ти­че­ская энер­гия За­ту­ха­ни­ем ко­ле­ба­ний пре­не­бречь.

Опи­ра­ясь о ба­рьер кат­ка, маль­чик бро­сил ка­мень го­ри­зон­таль­но со ско­ро­стью Ка­ко­ва бу­дет ско­рость кам­ня от­но­си­тель­но маль­чи­ка, если он бро­сит ка­мень го­ри­зон­таль­но, со­вер­шив при брос­ке преж­нюю ра­бо­ту, но стоя на глад­ком льду? Мас­са кам­ня мас­са маль­чи­ка Тре­ни­ем о лед пре­не­бречь.

Тела мас­сы и со­еди­не­ны пру­жи­ной жест­ко­сти На тело мас­сы дей­ству­ет по­сто­ян­ная сила на­прав­лен­ная вдоль пру­жи­ны к телу мас­сы Най­ди­те, на сколь­ко сжа­та пру­жи­на, если ни­ка­ких дру­гих внеш­них сил нет, а ко­ле­ба­ния уже пре­кра­ти­лись. Ка­ким бу­дет уско­ре­ние тел сра­зу же по­сле пре­кра­ще­ния дей­ствия силы

На не­ве­со­мой не­рас­тя­жи­мой нити дли­ной ви­сит груз. Нить при­креп­ле­на к го­ри­зон­таль­но­му гвоз­дю, во­круг ко­то­ро­го мо­жет вра­щать­ся без тре­ния. Ка­кую ми­ни­маль­ную го­ри­зон­таль­ную ско­рость не­об­хо­ди­мо со­об­щить гру­зу, что­бы он со­вер­шил пол­ный обо­рот в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти?

При брос­ке тела от по­верх­но­сти Зем­ли под не­ко­то­рым уг­лом к го­ри­зон­ту была со­вер­ше­на ра­бо­та На ка­ком рас­сто­я­нии от ме­ста бро­са­ния тело упа­ло на Зем­лю, если его мас­са а мак­си­маль­ная вы­со­та подъ­ема в по­ле­те

На глад­ком сто­ле по­ко­ит­ся бру­сок мас­сой при­креп­лен­ный пру­жи­ной жест­ко­сти к сте­не. В бру­сок уда­ря­ет­ся ша­рик мас­сой дви­жу­щий­ся по сто­лу со ско­ро­стью на­прав­лен­ной вдоль пру­жи­ны. Счи­тая со­уда­ре­ние ша­ри­ка и брус­ка упру­гим, най­ти ам­пли­ту­ду ко­ле­ба­ний брус­ка по­сле уда­ра.